Mann-whitney-u-test
Ein Mann-Whitney-U-Test (manchmal auch Wilcoxon-Rangsummentest genannt) wird verwendet, um Unterschiede zwischen zwei unabhängigen Stichproben zu vergleichen, wenn die Stichprobenverteilungen nicht normalverteilt sind und die Stichprobengrößen klein sind (n < 30).
Er gilt als nichtparametrisches Äquivalent des unabhängigen t-Tests bei zwei Stichproben .
Hier sind einige Beispiele, wann Sie einen Mann-Whitney-U-Test verwenden können:
- Sie möchten die Gehälter von fünf Absolventen der Universität A mit den Gehältern von fünf Absolventen der Universität B vergleichen. Die Gehälter sind nicht normal verteilt.
- Sie möchten wissen, ob der Gewichtsverlust bei zwei Gruppen variiert: 12 Personen, die Diät A anwenden, und 10 Personen, die Diät B anwenden. Der Gewichtsverlust ist nicht normalverteilt.
- Sie möchten wissen, ob sich die Ergebnisse von 8 Schülern in Klasse A von denen von 7 Schülern in Klasse B unterscheiden. Die Ergebnisse sind nicht normalverteilt.
In jedem Beispiel möchten Sie zwei Gruppen vergleichen, die Stichprobenverteilungen sind nicht normal und die Stichprobengrößen sind klein.
Daher ist ein Mann-Whitney-U-Test angemessen, solange die folgenden Annahmen erfüllt sind.
Annahmen des Mann-Whitney-U-Tests
Bevor Sie einen Mann-Whitney-U-Test durchführen, müssen Sie sicherstellen, dass die folgenden vier Annahmen erfüllt sind:
- Gewöhnlich oder stetig: Die Variable, die Sie analysieren, ist ordinal oder stetig. Beispiele für Ordinalvariablen sind Likert-Items (z. B. eine 5-Punkte-Skala von „stimme überhaupt nicht zu“ bis „stimme völlig zu“). Beispiele für kontinuierliche Variablen sind Körpergröße (gemessen in Zoll), Gewicht (gemessen in Pfund) oder Testergebnisse (gemessen von 0 bis 100).
- Unabhängigkeit: Alle Beobachtungen beider Gruppen sind unabhängig voneinander.
- Form: Die Formen der Verteilungen für die beiden Gruppen sind ungefähr gleich.
Wenn diese Annahmen erfüllt sind, können Sie einen Mann-Whitney-U-Test durchführen.
So führen Sie einen Mann-Whitney-U-Test durch
Um einen Mann-Whitney-U-Test durchzuführen, befolgen wir das standardmäßige fünfstufige Hypothesentestverfahren :
1. Geben Sie die Annahmen an.
In den meisten Fällen wird der Mann-Whitney-U-Test als zweiseitiger Test durchgeführt. Die Null- und Alternativhypothese werden in der Form geschrieben:
H 0 : Die beiden Populationen sind gleich
H a : Die beiden Populationen sind nicht gleich
2. Bestimmen Sie ein Signifikanzniveau für die Hypothese.
Entscheiden Sie sich für ein Signifikanzniveau. Übliche Optionen sind .01, .05 und .1.
3. Finden Sie die Teststatistik.
Die Teststatistik wird mit U bezeichnet und ist die kleinere von U 1 und U 2 , wie unten definiert:
U 1 = n 1 n 2 + n 1 (n 1 +1)/2 – R 1
U 2 = n 1 n 2 + n 2 (n 2 +1)/2 – R 2
Dabei sind n 1 und n 2 die Stichprobengrößen für die Stichproben 1 bzw. 2 und R 1 und R 2 die Summe der Ränge für die Stichproben 1 bzw. 2.
Die folgenden Beispiele zeigen, wie Sie diese Teststatistik im Detail finden.
4. Lehnen Sie die Nullhypothese ab oder lehnen Sie sie nicht ab.
Bestimmen Sie anhand der Teststatistiken, ob Sie die Nullhypothese basierend auf dem Signifikanzniveau und dem kritischen Wert in der Mann-Whitney-U-Tabelle ablehnen können oder nicht.
5. Interpretieren Sie die Ergebnisse.
Interpretieren Sie die Testergebnisse im Kontext der gestellten Frage.
Beispiele für die Durchführung eines Mann-Whitney-U-Tests
Die folgenden Beispiele zeigen, wie ein Mann-Whitney-U-Test durchgeführt wird.
Beispiel 1
Wir wollen wissen, ob ein neues Medikament Panikattacken wirksam vorbeugt. Insgesamt 12 Patienten werden nach dem Zufallsprinzip in zwei Gruppen zu je 6 Patienten eingeteilt und erhalten entweder das neue Medikament oder das Placebo. Anschließend erfassen die Patienten die Anzahl der Panikattacken, die sie im Laufe eines Monats erlebt haben.
Die Ergebnisse sind unten dargestellt:
| NEUE DROGE | PLACEBO |
|---|---|
| 3 | 4 |
| 5 | 8 |
| 1 | 6 |
| 4 | 2 |
| 3 | 1 |
| 5 | 9 |
Führen Sie einen Mann-Whitney-U-Test durch, um festzustellen, ob es einen Unterschied in der Anzahl der Panikattacken bei Patienten in der Placebogruppe im Vergleich zur Gruppe mit neuen Medikamenten gibt. Verwenden Sie ein Signifikanzniveau von 0,05.
1. Geben Sie die Annahmen an.
H 0 : Die beiden Populationen sind gleich
H a : Die beiden Populationen sind nicht gleich
2. Bestimmen Sie ein Signifikanzniveau für die Hypothese.
Das Problem sagt uns, dass wir ein Signifikanzniveau von 0,05 verwenden sollten.
3. Finden Sie die Teststatistik.
Denken Sie daran, dass die Teststatistik mit U bezeichnet wird und der kleinere von U 1 und U 2 ist, wie unten definiert:
U 1 = n 1 n 2 + n 1 (n 1 +1)/2 – R 1
U 2 = n 1 n 2 + n 2 (n 2 +1)/2 – R 2
Dabei sind n 1 und n 2 die Stichprobengrößen für die Stichproben 1 bzw. 2 und R 1 und R 2 die Summe der Ränge für die Stichproben 1 bzw. 2.
Um R 1 und R 2 zu finden, müssen wir die Beobachtungen beider Gruppen kombinieren und sie vom kleinsten zum größten ordnen:
| NEUE DROGE | PLACEBO |
|---|---|
| 3 | 4 |
| 5 | 8 |
| 1 | 6 |
| 4 | 2 |
| 3 | 1 |
| 5 | 9 |
Gesamtstichprobe: 1 , 1 , 2 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 8 , 9
Ränge: 1,5 , 1,5 , 3 , 4,5 , 4,5 , 6,5 , 6,5 , 8,5 , 8,5 , 10 , 11 , 12
R 1 = Summe der Ränge für Stichprobe 1 = 1,5+4,5+4,5+6,5+8,5+8,5 = 34
R 2 = Summe der Ränge für Stichprobe 2 = 1,5+3+6,5+10+11+12 = 44
Als nächstes verwenden wir unsere Stichprobengrößen n 1 und n 2 sowie unsere Rangsumme R 1 und R 2 , um U 1 und U 2 zu ermitteln.
U1 = 6(6) + 6(6+1)/2 – 34 = 23
U2 = 6(6) + 6(6+1)/2 – 44 = 13
Unsere Teststatistik ist die kleinere von U1 und U2 , die zufällig U=13 beträgt.
Hinweis: Wir könnten auch den Mann-Whitney-U-Testrechner verwenden, um U = 13 zu bestimmen.
4. Lehnen Sie die Nullhypothese ab oder lehnen Sie sie nicht ab.
Unter Verwendung von n 1 = 6 und n 2 = 6 mit einem Signifikanzniveau von 0,05 sagt uns die Mann-Whitney-U-Tabelle, dass der kritische Wert 5 ist:
Da unsere Teststatistik (13) größer als unser kritischer Wert (5) ist, können wir die Nullhypothese nicht ablehnen.
5. Interpretieren Sie die Ergebnisse.
Da wir die Nullhypothese nicht zurückweisen konnten, verfügen wir nicht über ausreichende Beweise dafür, dass die Anzahl der Panikattacken bei Patienten in der Placebo-Gruppe anders ist als in der neuen Medikamentengruppe.
Beispiel 2
Wir möchten wissen, ob das Lernen von 30 Minuten pro Tag über eine Woche hinweg dazu beiträgt, dass Schüler bei einer Prüfung besser abschneiden. Insgesamt 15 Patienten werden nach dem Zufallsprinzip einer Studiengruppe oder keiner Studiengruppe zugeordnet. Nach einer Woche absolvieren alle Schüler den gleichen Test.
Die Testergebnisse für beide Gruppen sind unten aufgeführt:
| STUDIE | KEINE STUDIE |
|---|---|
| 89 | 88 |
| 92 | 93 |
| 94 | 95 |
| 96 | 75 |
| 91 | 72 |
| 99 | 80 |
| 84 | 81 |
| 90 |
Führen Sie einen Mann-Whitney-U-Test durch, um zu sehen, ob es einen Unterschied in den Testergebnissen für die Studiengruppe im Vergleich zur Nicht-Studiengruppe gibt. Verwenden Sie ein Signifikanzniveau von 0,01.
1. Geben Sie die Annahmen an.
H 0 : Die beiden Populationen sind gleich
H a : Die beiden Populationen sind nicht gleich
2. Bestimmen Sie ein Signifikanzniveau für die Hypothese.
Das Problem sagt uns, dass wir ein Signifikanzniveau von 0,01 verwenden sollten.
3. Finden Sie die Teststatistik.
Denken Sie daran, dass die Teststatistik mit U bezeichnet wird und der kleinere von U 1 und U 2 ist, wie unten definiert:
U 1 = n 1 n 2 + n 1 (n 1 +1)/2 – R 1
U 2 = n 1 n 2 + n 2 (n 2 +1)/2 – R 2
Dabei sind n 1 und n 2 die Stichprobengrößen für die Stichproben 1 bzw. 2 und R 1 und R 2 die Summe der Ränge für die Stichproben 1 bzw. 2.
Um R 1 und R 2 zu finden, müssen wir die Beobachtungen beider Gruppen kombinieren und sie vom kleinsten zum größten ordnen:
| STUDIE | KEINE STUDIE |
|---|---|
| 89 | 88 |
| 92 | 93 |
| 94 | 95 |
| 96 | 75 |
| 91 | 72 |
| 99 | 80 |
| 84 | 81 |
| 90 |
Gesamtstichprobe: 72 , 75 , 80 , 81, 84, 88 , 89 , 90 , 91 , 92 , 93 , 94 , 95 , 96 , 99
Reihen: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15
R 1 = Summe der Ränge für Stichprobe 1 = 5+7+8+9+10+12+14+15 = 80
R 2 = Summe der Ränge für Stichprobe 2 = 1+2+3+4+6+11+13 = 40
Als nächstes verwenden wir unsere Stichprobengrößen n 1 und n 2 sowie unsere Rangsumme R 1 und R 2 , um U 1 und U 2 zu ermitteln.
U1 = 8(7) + 8(8+1)/2 – 80 = 12
U2 = 8(7) + 7(7+1)/2 – 40 = 44
Unsere Teststatistik ist die kleinere von U1 und U2 , die zufällig U=12 beträgt.
Hinweis: Wir könnten auch den Mann-Whitney-U-Testrechner verwenden, um U = 12 zu bestimmen.
4. Lehnen Sie die Nullhypothese ab oder lehnen Sie sie nicht ab.
Unter Verwendung von n 1 = 8 und n 2 = 7 mit einem Signifikanzniveau von 0,01 sagt uns die Mann-Whitney-U-Tabelle, dass der kritische Wert 6 ist:
Da unsere Teststatistik (12) größer als unser kritischer Wert (6) ist, können wir die Nullhypothese nicht ablehnen.
5. Interpretieren Sie die Ergebnisse.
Da wir die Nullhypothese nicht zurückweisen konnten, verfügen wir nicht über ausreichende Beweise dafür, dass sich die Testergebnisse von Studierenden, die studiert haben, von denen von Studierenden unterscheiden, die nicht studiert haben.
Zusätzliche Ressourcen
Mann-Whitney-U-Test-Rechner
Mann-Whitney U-Tisch
So führen Sie einen Mann-Whitney-U-Test in Excel durch
So führen Sie einen Mann-Whitney-U-Test in R durch
So führen Sie einen Mann-Whitney-U-Test in Python durch
So führen Sie einen Mann-Whitney-U-Test in SPSS durch
So führen Sie einen Mann-Whitney-U-Test in Stata durch
Über den Autor
Dr. Benjamin Anderson
Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen