Messungen der zentralen tendenz

In diesem Artikel erfahren Sie, was Maße der zentralen Tendenz sind, was sie sind, Beispiele für alle Arten von Maßen der zentralen Tendenz und darüber hinaus können Sie alle Maße der zentralen Tendenz einer Stichprobe mit einem Online-Rechner berechnen. .

Was sind Maßstäbe für die zentrale Tendenz?

Maße der zentralen Tendenz oder Maße der Zentralisierung sind statistische Maße, die den zentralen Wert einer Verteilung angeben. Mit anderen Worten: Maße der zentralen Tendenz werden verwendet, um einen Wert zu finden, der repräsentativ für die Mitte eines Datensatzes ist.

Die am häufigsten verwendeten Maße für die zentrale Tendenz sind Mittelwert, Median und Modus.

Maße der zentralen Tendenz werden auch zentrale Positionsmaße genannt.

Was sind Maßstäbe für die zentrale Tendenz?

Die Maße der zentralen Tendenz sind:

• Durchschnitt : Dies ist der Durchschnitt aller Daten in der Stichprobe.
• Median : Dies ist der Mittelwert aller Daten, sortiert vom kleinsten zum größten.
• Modus : Dies ist der am häufigsten wiederholte Wert im Datensatz.

Diese drei statistischen Maße werden im Folgenden näher erläutert.

👉 Mit dem Rechner unten können Sie Maße der zentralen Tendenz für jeden Datensatz berechnen.

Halb

Um den Durchschnitt zu berechnen, addieren Sie alle Werte und teilen Sie sie dann durch die Gesamtzahl der Daten. Die Formel für den Durchschnitt lautet daher wie folgt:

Das durchschnittliche Symbol ist ein horizontales Band über dem Buchstaben x

Allerdings kann man mit dem Mittelwertsymbol auch zwischen dem Stichprobenmittelwert und dem Grundgesamtheitsmittelwert unterscheiden: Der Mittelwert einer Stichprobe wird mit dem Symbol ausgedrückt

, während der Durchschnitt einer Bevölkerung den griechischen Buchstaben verwendet

Der Durchschnitt wird auch als arithmetisches Mittel oder Durchschnitt bezeichnet. Darüber hinaus entspricht der Mittelwert einer statistischen Verteilung ihrem mathematischen Erwartungswert.

Durchschnittliches Beispiel

• Ein Schüler hat im Laufe eines Schuljahres folgende Noten erreicht: in Mathematik eine 9, in Sprache eine 7, in Geschichte eine 6, in Wirtschaftswissenschaften eine 8 und in Naturwissenschaften eine 7,5. Was ist der Durchschnitt aller Ihrer Noten?

Um den arithmetischen Durchschnitt zu ermitteln, müssen wir alle Noten addieren und dann durch die Gesamtzahl der Fächer im Kurs dividieren, also 5. Daher wenden wir die Formel für den arithmetischen Durchschnitt an:

Wir setzen die Daten in die Formel ein und berechnen den arithmetischen Durchschnitt:

Wie Sie sehen, wird im arithmetischen Mittel jedem Wert das gleiche Gewicht zugewiesen, das heißt, jedes Datenelement hat im Ganzen das gleiche Gewicht.

Die Berechnung dieser Art von zentraler Tendenzmessung variiert geringfügig, wenn die Daten nach Intervallen gruppiert werden. Sie können hier sehen, wie sie durchgeführt wird:

Median

Der Median ist der Mittelwert aller Datenelemente, geordnet vom kleinsten zum größten. Mit anderen Worten: Der Median teilt den geordneten Datensatz in zwei gleiche Teile.

Die Berechnung des Medians hängt davon ab, ob die Gesamtzahl der Daten gerade oder ungerade ist:

• Wenn die Gesamtzahl der Datenelemente ungerade ist, ist der Median der Wert, der genau in der Mitte der Daten liegt. Das heißt der Wert, der an Position (n+1)/2 der sortierten Daten steht.



• Wenn die Gesamtzahl der Datenelemente gerade ist, ist der Median der Durchschnitt der beiden Datenelemente in der Mitte. Das heißt das arithmetische Mittel der Werte, die an den Positionen n/2 und n/2+1 der geordneten Daten gefunden werden.

Gold

ist die Gesamtzahl der Daten in der Stichprobe und das Symbol Me gibt den Median an.

Median-Beispiel

• Finden Sie den Median der folgenden Daten: 3, 4, 1, 6, 7, 4, 8, 2, 8, 4, 5

Bevor wir Berechnungen durchführen, müssen wir zunächst die Daten klassifizieren, d. h. wir ordnen die Zahlen vom kleinsten zum größten an.

In diesem Fall haben wir 11 Beobachtungen, daher ist die Gesamtzahl der Daten ungerade. Daher wenden wir die folgende Formel an, um die Position des Medians zu berechnen:

Als Median werden also die an sechster Stelle stehenden Daten herangezogen, was in diesem Fall dem Wert 4 entspricht.

Um zu sehen, wie diese Art von zentralem Tendenzmaß für gruppierte Daten berechnet wird, klicken Sie hier:

Mode

In der Statistik ist der Modus der Wert im Datensatz, der die höchste absolute Häufigkeit aufweist, d. h. der Modus ist der am häufigsten wiederholte Wert in einem Datensatz.

Um den Modus eines statistischen Datensatzes zu berechnen, zählen Sie daher einfach, wie oft jedes Datenelement in der Stichprobe vorkommt. Die am häufigsten wiederholten Daten ergeben den Modus.

Der Modus kann auch als statistischer Modus oder Modalwert bezeichnet werden.

Je nach Anzahl der am häufigsten wiederholten Werte können drei Arten von Modi unterschieden werden:

• Unimodaler Modus : Es gibt nur einen Wert mit der maximalen Anzahl an Wiederholungen. Zum Beispiel [1, 4, 2, 4, 5, 3].
• Bimodaler Modus : Die maximale Anzahl an Wiederholungen erfolgt bei zwei unterschiedlichen Werten, und beide Werte werden gleich oft wiederholt. Zum Beispiel [2, 6, 7, 2, 3, 6, 9].
• Multimodaler Modus : Drei oder mehr Werte haben die gleiche maximale Wiederholungszahl. Zum Beispiel [3, 3, 4, 1, 3, 4, 2, 1, 4, 5, 2, 1].

Modebeispiel

• Welchen Modus hat der folgende Datensatz?

Die Zahlen sind nicht in der richtigen Reihenfolge, also sortieren wir sie zunächst. Dieser Schritt ist nicht zwingend erforderlich, hilft Ihnen aber dabei, Mode leichter zu finden.

Die Zahlen 2 und 9 erscheinen zweimal, aber die Zahl 5 wird dreimal wiederholt. Daher ist der Modus der Datenreihe Nummer 5.

Wenn Daten in Klassen oder Intervalle gruppiert werden, muss der Modus mithilfe einer bestimmten Formel berechnet werden. Klicken Sie auf den Link unten, um zu sehen, wie:

Messungen des zentralen Tendenzrechners

Geben Sie Daten aus einer beliebigen statistischen Stichprobe in den folgenden Online-Rechner ein, um alle Maße der zentralen Tendenz zu berechnen. Die Daten müssen durch ein Leerzeichen getrennt und mit dem Punkt als Dezimaltrennzeichen eingegeben werden.

Wozu dienen zentrale Tendenzmaße?

In erster Linie werden zentrale Tendenzmaße verwendet, um eine Zahl zu finden, die die zentralen Werte einer Reihe statistischer Daten darstellt. Der Zweck dieser statistischen Parameter besteht also darin, eine Vorstellung von den in einer Datenreihe gefundenen Werten zu erhalten.

Darüber hinaus sind Maße der zentralen Tendenz für Vergleichszwecke sehr nützlich. Wenn beispielsweise die durchschnittliche Qualitätskontrollbewertung eines Produkts 8 beträgt und ein neues Produkt hergestellt wird und eine Bewertung von 6 erhält, bedeutet dies, dass dieses neue Produkt schlechter ist als die normalerweise hergestellten.

Es ist jedoch schwierig, die Form einer Verteilung zu kennen, wenn wir nur Maße der zentralen Tendenz kennen. Aus diesem Grund wird empfohlen, Maße der zentralen Tendenz mit Maßen der Streuung zu kombinieren, da sie es ermöglichen, festzustellen, ob die Daten um die zentralen Werte herum konzentriert sind oder im Gegenteil, ob die Daten verstreut sind.