Median

In diesem Artikel wird erklärt, was der Median eines Datensatzes ist und wie man den Median für nicht gruppierte und gruppierte Daten ermittelt. Zusätzlich können Sie mit dem Online-Rechner am Ende den Median einer beliebigen Datenreihe berechnen.

Was ist der Median?

In der Statistik ist der Median der Mittelwert aller Daten, geordnet vom kleinsten zum größten. Mit anderen Worten: Der Median teilt den geordneten Datensatz in zwei gleiche Teile.

Der Median ist ein Maß für die zentrale Position, das zur Beschreibung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung verwendet wird.

👉 Mit dem Rechner unten können Sie den Median eines beliebigen Datensatzes berechnen.

Im Allgemeinen wird der Begriff „Selbst“ oft als Symbol für die Mitte verwendet.

Weitere zentrale Positionsmaße sind Mittelwert und Modus. Nachfolgend werden wir die Unterschiede zwischen ihnen sehen. Ebenso sind Quartile, Quintile, Dezile, Perzentile usw. Maße für die nichtzentrale Position.

Es ist zu beachten, dass der Median eines Datensatzes mit dem zweiten Quartil, dem fünften Dezil und dem 50. Perzentil übereinstimmt.

So berechnen Sie den Median

Die Berechnung des Medians hängt davon ab, ob die Gesamtzahl der Daten gerade oder ungerade ist:

• Wenn die Gesamtzahl der Daten ungerade ist, ist der Median der Wert, der genau in der Mitte der Daten liegt. Das heißt der Wert, der an Position (n+1)/2 der sortierten Daten steht.



• Wenn die Gesamtzahl der Datenpunkte gerade ist, ist der Median der Durchschnitt der beiden Datenpunkte in der Mitte. Das heißt das arithmetische Mittel der Werte, die an den Positionen n/2 und n/2+1 der geordneten Daten gefunden werden.

Gold

ist die Gesamtzahl der Datenelemente in der Stichprobe.

Beispiele zur Berechnung des Medians

Damit Sie sehen können, wie der Median berechnet wird, finden Sie unten zwei Beispiele aus der Praxis, eines für jeden Fall. Zuerst wird der Median eines ungeraden Datensatzes berechnet, dann wird der Median eines geraden Datensatzes berechnet.

Median ungerader Daten

• Berechnen Sie den Median der folgenden Daten: 3, 4, 1, 6, 7, 4, 8, 2, 8, 4, 5

Das erste, was wir tun müssen, bevor wir Berechnungen durchführen, ist, die Daten zu ordnen, das heißt, wir schreiben die Zahlen vom kleinsten zum größten.

In diesem Fall haben wir 11 Beobachtungen, daher ist die Gesamtzahl der Daten ungerade. Daher wenden wir die folgende Formel an, um die Position des Medians zu berechnen:

Als Median werden also die an sechster Stelle stehenden Daten herangezogen, was in diesem Fall dem Wert 4 entspricht.

Median gerader Daten

• Was ist der Median der folgenden Beobachtungen? 2, 6, 2, 8, 9, 4, 7, 11, 4, 13

Um den Median zu erhalten, müssen Sie zunächst alle Daten in aufsteigender Reihenfolge sortieren:

Dieses Beispiel unterscheidet sich vom vorherigen, da wir dieses Mal insgesamt 10 Beobachtungen haben, was einer geraden Zahl entspricht. Daher ist das Verfahren zur Ermittlung des Durchschnitts etwas komplizierter.

Sie müssen zunächst die beiden zentralen Positionen berechnen, zwischen denen der Median ermittelt wird. Dazu müssen Sie die folgenden zwei Formeln anwenden:

Der Median liegt also zwischen der fünften und sechsten Stelle, was den Werten 6 bzw. 7 entspricht. Konkret handelt es sich beim Median um das arithmetische Mittel dieser Werte:

Medianrechner

Geben Sie einen statistischen Datensatz in den folgenden Rechner ein, um seinen Median zu berechnen. Die Daten müssen durch ein Leerzeichen getrennt und mit dem Punkt als Dezimaltrennzeichen eingegeben werden.

Median für gruppierte Daten

Um den Median zu berechnen, wenn Daten in Intervalle gruppiert werden, müssen Sie zunächst das Intervall oder die Klasse ermitteln, in die der Median fällt, indem Sie die folgende Formel verwenden:

Somit liegt der Median in dem Intervall, dessen kumulative absolute Häufigkeit unmittelbar größer ist als die mit dem vorherigen algebraischen Ausdruck erhaltene Zahl.

Und sobald wir das Intervall kennen, zu dem der Median gehört, müssen wir die folgende Formel anwenden, um den genauen Wert des Medians zu ermitteln:

Gold:

• L _i ist die untere Grenze des Intervalls, in dem der Median liegt.
• n ist die Gesamtzahl der Beobachtungen.
• F _i-1 ist die akkumulierte absolute Häufigkeit des vorherigen Intervalls.
• f _i ist die absolute Häufigkeit des Intervalls, in dem der Median liegt.
• I _i ist die Breite des mittleren Intervalls.

Als Beispiel haben Sie unten eine Übung gelöst, in der der Median von in Intervallen gruppierten Daten berechnet wird.

Um den Median des Datensatzes zu ermitteln, müssen wir zunächst den Bereich bestimmen, in den er fällt. Dazu verwenden wir die folgende Formel:

Der Median liegt also in dem Intervall, dessen kumulative absolute Häufigkeit unmittelbar größer als 15,5 ist, was in diesem Fall das Intervall [60,70) ist, dessen kumulative absolute Häufigkeit 26 beträgt. Und sobald wir das mittlere Intervall kennen, wenden wir die zweite Formel an Verfahren:

Letztendlich beträgt der Median des gepoolten Datensatzes 60,45. Wie Sie sehen können, ist der Median bei solchen Problemen normalerweise eine Dezimalzahl.

Median, Mittelwert und Modus

In diesem letzten Abschnitt werden wir sehen, was der Unterschied zwischen dem Median, dem Mittelwert und dem Modus ist. Nun, das sind drei statistische Maße für die zentrale Position, aber ihre Bedeutung ist unterschiedlich.

Wie wir gesehen haben, ist der Median als der Wert definiert, der bei der Sortierung der Daten die zentrale Position einnimmt.

Im Gegensatz dazu ist der Mittelwert der Durchschnittswert aller statistischen Daten. Um den Durchschnitt zu berechnen, müssen Sie alle Daten addieren und das Ergebnis dann durch die Anzahl der Datenpunkte dividieren.

Schließlich ist der Modus der am häufigsten wiederholte Wert in einer Datenreihe.

Wie Sie sehen, helfen alle drei statistischen Maße dabei, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu beschreiben, da sie eine Vorstellung von ihren zentralen Werten liefern. Allerdings ist keine Maßnahme besser als die andere, sie beziehen sich lediglich auf unterschiedliche Konzepte.