Nichtlineare regression

In diesem Artikel wird erläutert, was nichtlineare Regression ist und welche Eigenschaften sie hat. Außerdem werden die verschiedenen Arten der nichtlinearen Regression vorgestellt und darüber hinaus können Sie die Unterschiede zwischen einer nichtlinearen Regression und einer linearen Regression erkennen.

Was ist nichtlineare Regression?

In der Statistik ist die nichtlineare Regression eine Art Regression, bei der eine nichtlineare Funktion als Modell der Regressionsgleichung verwendet wird. Daher ist die Gleichung eines nichtlinearen Regressionsmodells eine nichtlineare Funktion.

Logischerweise wird die nichtlineare Regression verwendet, um die unabhängige Variable mit der abhängigen Variablen in Beziehung zu setzen, wenn die Beziehung zwischen den beiden Variablen nicht linear ist. Wenn wir also bei der grafischen Darstellung der Beispieldaten feststellen, dass keine lineare Beziehung zwischen ihnen besteht, das heißt, dass sie nicht annähernd eine gerade Linie bilden, ist es besser, ein nichtlineares Regressionsmodell zu verwenden.

Beispielsweise ist die Gleichung y=3-5x-8x ² +x ³ ein nichtlineares Regressionsmodell, da sie die unabhängige Variable X über eine kubische Funktion mathematisch mit der abhängigen Variablen Y in Beziehung setzt.

Arten der nichtlinearen Regression

Die Arten der nichtlinearen Regression sind:

• Polynomiale Regression : nichtlineare Regression, deren Gleichung in Polynomform vorliegt.
• Logarithmische Regression : Nichtlineare Regression, bei der die unabhängige Variable als Logarithmus verwendet wird.
• Exponentielle Regression : Nichtlineare Regression, bei der die unabhängige Variable im Exponenten der Gleichung liegt.

Die einzelnen Arten der nichtlinearen Regression werden im Folgenden ausführlicher erläutert.

Polynomielle Regression

Polynomielle Regression oder Polynomregression ist ein nichtlineares Regressionsmodell, bei dem die Beziehung zwischen der unabhängigen Variablen X und der abhängigen Variablen Y mithilfe eines Polynoms modelliert wird.

Die Polynomregression eignet sich zum Anpassen von Datensätzen, deren Diagramme Polynomkurven sind. Wenn also das Punktdiagramm einer Datenstichprobe die Form einer Parabel hat, ist es besser, ein quadratisches Regressionsmodell anstelle eines linearen Regressionsmodells zu erstellen. Auf diese Weise passt die Regressionsmodellgleichung besser zur Datenstichprobe.

Die Gleichung für ein polynomiales Regressionsmodell lautet y=β ₀ +β ₁ x+β ₂ x ² +β ₃ x ³ …+β _m x ^m .

Gold:

• 

  ist die abhängige Variable.

• 

  ist die unabhängige Variable.

• 

  ist die Konstante der polynomialen Regressionsgleichung.

• 

  ist der mit der Variablen verbundene Regressionskoeffizient

  

  .

Unten sehen Sie Beispieldaten, die mit der entsprechenden polynomialen Regressionsgleichung grafisch dargestellt sind:

Logarithmische Regression

Die logarithmische Regression ist ein nichtlineares Regressionsmodell, das einen Logarithmus in seine Gleichung einbezieht. Konkret wird bei einer logarithmischen Regression der Logarithmus der unabhängigen Variablen berücksichtigt.

Mit der logarithmischen Regression können Sie ein Regressionsmodell anpassen, wenn die Beispieldaten eine logarithmische Kurve bilden. Auf diese Weise passt das Regressionsmodell besser zu den Beispieldaten.

Die Formel für die Gleichung einer logarithmischen Regression lautet y=a+b·ln(x).

Gold:

• 

  ist die abhängige Variable.

• 

  ist die unabhängige Variable.

• 

  sind die Regressionskoeffizienten.

Im folgenden Diagramm sehen Sie einen Datensatz und die Gleichung eines an die Daten angepassten logarithmischen Regressionsmodells. Wie Sie sehen, passt die logarithmische Gleichung besser zu einem Punktdiagramm als zu einer geraden Linie.

Exponentielle Regression

Die exponentielle Regression ist ein nichtlineares Regressionsmodell, dessen Gleichung die Form einer Exponentialfunktion hat. Daher sind bei der exponentiellen Regression die unabhängige Variable und die abhängige Variable durch eine exponentielle Beziehung verbunden.

Die Formel für die Gleichung eines exponentiellen Regressionsmodells lautet y=a·e ^b·x . Daher hat die exponentielle Regressionsgleichung einen Koeffizienten (a), der die Zahl e multipliziert, und einen weiteren Koeffizienten für die exponentielle Multiplikation der unabhängigen Variablen.

Die Formel für die exponentielle Regression lautet also:

Gold:

• 

  ist die abhängige Variable.

• 

  ist die unabhängige Variable.

• 

  sind die Regressionskoeffizienten.

Wie Sie im folgenden Bild sehen können, hat das Punktdiagramm die Form einer Exponentialkurve, da die Daten immer schneller wachsen. Aus diesem Grund passt ein exponentielles Regressionsmodell besser zu dieser Datenstichprobe als ein einfaches lineares Regressionsmodell.

Nichtlineare Regression und lineare Regression

Lassen Sie uns abschließend zusammenfassend sehen, was der Unterschied zwischen einem nichtlinearen Regressionsmodell und einem linearen Regressionsmodell ist.

Die lineare Regression ist ein statistisches Modell, das eine oder mehrere unabhängige Variablen linear mit einer abhängigen Variablen in Beziehung setzt. In einem linearen Regressionsmodell kann es also mehr als eine erklärende Variable geben, aber die Beziehung zwischen den erklärenden Variablen und der Antwortvariablen ist linear.

Daher besteht der Hauptunterschied zwischen nichtlinearer Regression und linearer Regression darin, dass die Gleichung eines nichtlinearen Regressionsmodells eine nichtlineare Funktion (Polynom, Logarithmus, Exponentiell usw.) ist, während die Gleichung eines nichtlinearen Regressionsmodells eine lineare Regression ist. eine lineare Funktion (ersten Grades).