Normale binomiale näherung: definition und beispiel

Wenn _ _ _ _ _

• µ = np
• σ = √ np(1-p)

Es stellt sich heraus, dass wir, wenn n groß genug ist, die Normalverteilung verwenden können, um die Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit der Binomialverteilung anzunähern. Dies wird als normale binomiale Näherung bezeichnet.

Damit n „groß genug“ ist, muss es die folgenden Kriterien erfüllen:

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

Wenn beide Kriterien erfüllt sind, können wir die Normalverteilung verwenden, um Wahrscheinlichkeitsfragen im Zusammenhang mit der Binomialverteilung zu beantworten.

Da die Normalverteilung jedoch eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, während die Binomialverteilung eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, müssen wir bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten eine Kontinuitätskorrektur anwenden.

Einfach ausgedrückt ist eine Kontinuitätskorrektur die Bezeichnung für das Addieren oder Subtrahieren von 0,5 von einem diskreten x-Wert.

Nehmen wir zum Beispiel an, wir möchten die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass eine Münze im Verlauf von 100 Würfen höchstens 45 Mal auf dem Kopf landet. Das heißt, wir wollen P(X ≤ 45) finden. Um die Normalverteilung zur Annäherung an die Binomialverteilung zu verwenden, würden wir stattdessen P(X ≤ 45,5) finden.

Die folgende Tabelle zeigt, wann Sie 0,5 addieren oder subtrahieren sollten, abhängig von der Art der Wahrscheinlichkeit, die Sie ermitteln möchten:

Das folgende Schritt-für-Schritt-Beispiel zeigt, wie die Normalverteilung zur Annäherung an die Binomialverteilung verwendet wird.

Beispiel: Normalnäherung des Binomials

Angenommen, wir möchten wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Münze in 100 Würfen höchstens 43 Mal auf „Kopf“ landet.

In dieser Situation haben wir folgende Werte:

• n (Anzahl der Versuche) = 100
• X (Anzahl der Erfolge) = 43
• p (Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem bestimmten Versuch) = 0,50

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die Münze weniger als oder gleich 43 Mal auf „Kopf“ landet, können wir die folgenden Schritte verwenden:

Schritt 1: Stellen Sie sicher, dass die Stichprobengröße groß genug ist, um die Normalnäherung zu verwenden.

Zunächst müssen wir prüfen, ob die folgenden Kriterien erfüllt sind:

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

In diesem Fall haben wir:

• np = 100*0,5 = 50
• n(1-p) = 100*(1 – 0,5) = 100*0,5 = 50

Beide Zahlen sind größer als 5, sodass wir sicher die Normalnäherung verwenden können.

Schritt 2: Bestimmen Sie die anzuwendende Kontinuitätskorrektur.

Anhand der obigen Tabelle sehen wir, dass wir 0,5 hinzufügen sollten, wenn wir mit der Wahrscheinlichkeit in der Form X ≤ 43 arbeiten. Somit finden wir P(X< 43,5).

Schritt 3: Ermitteln Sie den Mittelwert (μ) und die Standardabweichung (σ) der Binomialverteilung.

µ = n*p = 100*0,5 = 50

σ = √ n*p*(1-p) = √ 100*.5*(1-.5) = √ 25 = 5

Schritt 4: Ermitteln Sie den Z-Score anhand des im vorherigen Schritt ermittelten Mittelwerts und der Standardabweichung.

z = (x – μ) / σ = (43,5 – 50) / 5 = -6,5 / 5 = -1,3.

Schritt 5: Ermitteln Sie die mit dem Z-Score verbundene Wahrscheinlichkeit.

Wir können den normalen CDF-Rechner verwenden, um herauszufinden, dass die Fläche unter der Standardnormalkurve links von -1,3 0,0968 beträgt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze bei 100 Würfen höchstens 43 Mal „Kopf“ landet, beträgt also 0,0968 .

Dieses Beispiel veranschaulicht Folgendes:

• Wir hatten eine Situation, in der eine Zufallsvariable einer Binomialverteilung folgte.
• Wir wollten die Wahrscheinlichkeit ermitteln, einen bestimmten Wert für diese Zufallsvariable zu erhalten.
• Da die Stichprobengröße (n = 100 Versuche) groß genug war, konnten wir die Normalverteilung verwenden, um die Binomialverteilung anzunähern.

Dies ist ein vollständiges Beispiel dafür, wie man die Normalnäherung verwendet, um Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit der Binomialverteilung zu finden.