Operationen mit ereignissen

Hier erklären wir, welche Operationen mit Ereignissen durchgeführt werden können und wie jede Art von Operation mit Ereignissen berechnet wird. Darüber hinaus können Sie mit Schritt-für-Schritt-Übungen den Betrieb mit Ereignissen üben.

Arten von Operationen mit Ereignissen

In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es drei Arten von Operationen mit Ereignissen:

• Vereinigung von Ereignissen : Es ist die Wahrscheinlichkeit, dass das eine oder andere Ereignis eintritt.
• Schnittmenge von Ereignissen : Dies ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von zwei oder mehr Ereignissen.
• Ereignisdifferenz : Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, ein anderes Ereignis jedoch nicht gleichzeitig auftritt.

Durch die einfache Definition jeder Art von Ereignisoperation ist es schwierig zu verstehen, wie jede Art von Operation ausgeführt wird. Daher werden wir die drei Operationen im Folgenden näher erläutern.

Vereinigung von Ereignissen

Die Vereinigung zweier Ereignisse A und B ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A, Ereignis B oder beide Ereignisse gleichzeitig auftreten.

Das Symbol für die Vereinigung zweier unterschiedlicher Ereignisse ist ein U, die Vereinigung zweier Ereignisse wird also durch ein U in der Mitte der beiden Buchstaben ausgedrückt, die die Ereignisse darstellen.

Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse ist gleich der Summe der Eintrittswahrscheinlichkeit jedes Ereignisses minus der Schnittwahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse.

Beispielsweise berechnen wir beim Würfeln die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse „Eine gerade Zahl würfeln“ oder „Eine Zahl größer als 4 würfeln“ .

Es gibt drei Möglichkeiten, beim Würfeln eine gerade Zahl zu erhalten (2, 4 und 6), die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt, ist also:

Andererseits gibt es nur zwei Zahlen größer als vier (5 und 6), ihre Wahrscheinlichkeit ist daher:

Und der Schnittpunkt der beiden Ereignisse entspricht den Zahlen, die in beiden Ereignissen vorkommen, also:

Kurz gesagt, durch die Verknüpfung der Ereignisse A und B beträgt die Eintrittswahrscheinlichkeit:

Schnittpunkt der Ereignisse

Der Schnittpunkt zweier Ereignisse A und B ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse A und B gleichzeitig auftreten.

Das Symbol für den Schnittpunkt zweier Ereignisse wird durch ein umgekehrtes U dargestellt.

Die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts zweier Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten jedes einzelnen Ereignisses.

Um die Schnittwahrscheinlichkeit zweier Ereignisse zu berechnen, müssen diese beiden Ereignisse natürlich kompatibel sein.

Als Beispiel ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Ereignisse „erhalte eine gerade Zahl“ und „erhalte eine Zahl größer als 4“ während eines Würfelwurfs.

Wie wir oben berechnet haben, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis separat eintritt:

Somit ist die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts der beiden Ereignisse die Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses:

Unterschied der Ereignisse

Die Differenz zweier Ereignisse A minus B entspricht allen Elementarereignissen von A, die nicht in B enthalten sind. Mit anderen Worten: Bei der Differenz zweier Ereignisse A minus B ist Ereignis A erfüllt, Ereignis B kann jedoch nicht gleichzeitig erfüllt sein.

Die Differenzwahrscheinlichkeit zwischen zwei Ereignissen A und B ist gleich der Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignis A minus der Eintrittswahrscheinlichkeit von Elementarereignissen, die A und B gemeinsam haben.

Nach dem gleichen Beispiel wie bei den beiden vorherigen Operationsarten ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit dafür aus der Differenz des Ereignisses „Erhalten einer geraden Zahl“ minus „Erhalten einer Zahl größer als 4“ beim Würfeln.

Die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der Ereignisse A, B und ihres Schnittpunkts sind wie folgt (die detaillierte Berechnung können Sie oben sehen):

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Unterschied zwischen den beiden Ereignissen auftritt, beträgt daher:

Kurioserweise hat die Differenz der Ereignisse AB die Eigenschaft, auch dem Schnittpunkt zwischen Ereignis A und dem komplementären (oder entgegengesetzten) Ereignis von B zu entsprechen.

Übungen zu Operationen mit Ereignissen gelöst

Übung 1

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Zahl oder eine Zahl kleiner als 3 zu erhalten, wenn man mit einem sechsseitigen Würfel würfelt?

In dieser Übung müssen wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das eine oder andere Ereignis eintritt, also müssen wir die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der beiden Ereignisse ermitteln.

Wir berechnen daher zunächst die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Zahl zu erhalten, indem wir das Laplacesche Gesetz anwenden:

Zweitens bestimmen wir die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl kleiner als 3 zu erhalten:

Berechnen wir nun die Wahrscheinlichkeit elementarer Ereignisse, die sich in Ereignissen wiederholen, bei denen es sich nur um die Zahl 1 handelt (nur ungerade kleiner als 3):

Und schließlich wenden wir die Formel für die Vereinigung zweier Ereignisse an, um ihre Wahrscheinlichkeit herauszufinden:

Übung 2

In eine Schachtel legen wir 3 orangefarbene Kugeln, 2 blaue Kugeln und 5 weiße Kugeln. Wir machen das Zufallsexperiment, indem wir einen Ball aufheben, ihn zurück in die Schachtel legen und dann einen anderen Ball herausnehmen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Mal eine blaue Kugel und beim zweiten Mal eine orangefarbene Kugel zu ziehen?

Um dieses Problem zu lösen, müssen wir den Schnittpunkt der beiden Ereignisse berechnen, da wir wollen, dass beide Elementarereignisse wahr sind.

Wir berechnen daher zunächst die Wahrscheinlichkeit, einen blauen Ball zu fangen, indem wir die Laplace-Regel anwenden:

Wir ermitteln dann die Wahrscheinlichkeit, eine orangefarbene Kugel zu erhalten:

Und schließlich berechnen wir die Schnittwahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse, indem wir die beiden gefundenen Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Chance, beim ersten Versuch einen blauen Ball und beim zweiten Versuch einen orangefarbenen Ball zu fangen, nur bei 6 % liegt.

Übung 3

Die Wahrscheinlichkeit, dass Marta eine Prüfung besteht, beträgt 1/3 und die Wahrscheinlichkeit, dass Juan dieselbe Prüfung besteht, beträgt 2/5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Marta Erfolg hat und Juan scheitert?

In dieser Übung müssen wir die Differenz zwischen den beiden Ereignissen berechnen, da wir möchten, dass Marta zustimmt, nicht aber Juan. Verwenden Sie dazu einfach die Formel für diese Art von Operation mit Ereignissen:

Die Wahrscheinlichkeit, dass Marta Erfolg hat und Juan gleichzeitig scheitert, liegt daher bei 20 %.