Pareto-verteilung

Von August 3, 2023 Wahrscheinlichkeit Keine Kommentare

In diesem Artikel wird erklärt, was Pareto-Verteilung in der Statistik ist und wofür sie verwendet wird. Sie können auch das Pareto-Verteilungsdiagramm und die Eigenschaften dieser Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung sehen.

Was ist Pareto-Verteilung?

Die Pareto-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der Statistik zur Modellierung des Pareto-Prinzips verwendet wird. Daher ist die Pareto-Verteilung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die einige wenige Werte aufweist, deren Eintrittswahrscheinlichkeit viel höher ist als die der übrigen Werte.

Denken Sie daran, dass das Pareto-Gesetz, auch 80-20-Regel genannt, ein statistisches Prinzip ist, das besagt, dass die Ursache eines Phänomens größtenteils auf einen kleinen Teil der Bevölkerung zurückzuführen ist.

Die Pareto-Verteilung hat zwei charakteristische Parameter: den Skalenparameter x m und den Formparameter α.

X\sim \text{Pareto}(\alpha,x_m)

Ursprünglich wurde die Pareto-Verteilung verwendet, um die Vermögensverteilung innerhalb der Bevölkerung zu beschreiben, da der Großteil davon auf einen kleinen Teil der Bevölkerung zurückzuführen war. Doch derzeit hat die Pareto-Verteilung viele Anwendungen, beispielsweise in der Qualitätskontrolle, in der Wirtschaft, in der Wissenschaft, im sozialen Bereich usw.

Die Pareto-Verteilung ist nach dem Ökonomen Vilfredo Pareto benannt, der die Verteilung formuliert hat. Am bekanntesten ist er jedoch für das Pareto-Diagramm.

Pareto-Verteilungstabelle

Nachdem wir nun die Definition der Pareto-Verteilung kennen, schauen wir uns einige Beispiele für Pareto-Verteilungen an, die grafisch dargestellt werden.

Unten sehen Sie also, wie der Graph der Dichtefunktion der Pareto-Verteilung in Abhängigkeit von seinen charakteristischen Werten aussieht:

Pareto-Verteilungsdiagramm

Beachten Sie, dass der Bereich der Pareto-Verteilung vom Wert x m bis +∞ reicht, weshalb die Dichtefunktion nicht vor dem Wert x m existiert.

Andererseits sieht der Graph der kumulativen Wahrscheinlichkeitsfunktion der Pareto-Verteilung wie folgt aus:

kumulative Wahrscheinlichkeit der Pareto-Verteilung

Merkmale der Pareto-Verteilung

Nachfolgend sind die wichtigsten Merkmale der Pareto-Verteilung im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik aufgeführt.

  • Die Pareto-Verteilung hat zwei charakteristische Parameter, die ihre Kurve definieren: den Skalenparameter x m und den Formparameter α.

X\sim \text{Pareto}(\alpha,x_m)

  • Der Bereich der Pareto-Verteilung besteht aus allen reellen Zahlen vom Skalenparameter bis plus Unendlich.

x\in [x_m,+\infty)

  • Wenn α größer als 1 ist, ist der Mittelwert der Pareto-Verteilung gleich dem Produkt aus α mal x m und α minus 1.

E[X]=\cfrac{\alpha\cdot x_m}{\alpha-1}\quad\text{para } \alpha>1″ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“34″ width=“214″ style=“vertical-align: -12px;“></p> </p> <ul> <li> Die Varianz der Pareto-Verteilung hängt von den beiden charakteristischen Parametern der Verteilung ab und wird mit der folgenden Formel berechnet:</li> </ul> <p class=\displaystyle Var(X)=\frac{x_\mathrm{m}^2\cdot \alpha}{(\alpha-1)^2\cdot(\alpha-2)}\quad \text{para }\alpha>2″ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“44″ width=“323″ style=“vertical-align: -17px;“></p> </p> <ul> <li> Der Median der Pareto-Verteilung kann mit dem folgenden Ausdruck bestimmt werden:</li> </ul> <p class=\displaystyle Me=x_\mathrm{m}\cdot \sqrt[\alpha]{2}

  • Der Modus der Pareto-Verteilung entspricht dem Skalenparameter x m der Verteilung.

Mo=x_m

  • Die Formel für die Dichtefunktion der Pareto-Verteilung lautet:

\displaystyle P[X=x]=\frac{\alpha\cdot x_m^\alpha}{x^{\alpha+1}}\quad\text{para }x\geq x_m

  • Ebenso lautet die Formel für die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion der Pareto-Verteilung:

\displaystyle P[X\leq x]=1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha

  • Der Asymmetriekoeffizient der Pareto-Verteilung hängt nur vom Formparameter α ab und sein Ausdruck lautet:

\displaystyle A=\frac{2(1+\alpha)}{\alpha-3}\,\sqrt{\frac{\alpha-2}{\alpha}}\quad\text{para }\alpha>3″ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“43″ width=“274″ style=“vertical-align: -14px;“></p> </p> <ul> <li> Der Kurtosis-Koeffizient der Pareto-Verteilung variiert auch abhängig vom Wert des Parameters α und wird nach der folgenden Formel berechnet:</li> </ul> <p class=\displaystyle C=\frac{6(\alpha^3+\alpha^2-6\alpha-2)}{\alpha(\alpha-3)(\alpha-4)}\quad\text{para }\alpha>4″ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“44″ width=“299″ style=“vertical-align: -17px;“></p></p> </div><!-- End Content --> <!-- Start Author Box --> <div class=

Über den Autor

Benjamin Anderson
Dr. Benjamin Anderson

Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen

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