Quantile

Hier erfahren Sie, was Quantile sind und wie sie berechnet werden. Außerdem erklären wir, welche Arten von Quantilen es gibt, und Sie sehen gelöste Beispiele für die Quantilberechnung. Schließlich können Sie jedes Quantil Ihrer Datenstichprobe mit einem Online-Rechner berechnen.

Was sind Quantile?

In der Statistik sind Quantile Punkte, die einen Satz geordneter Daten gleichmäßig aufteilen. Ein Quantil gibt also den Wert an, unter dem ein Prozentsatz der Daten liegt.

Wenn beispielsweise der Quantilwert der Ordnung 0,39 24 beträgt, bedeutet dies, dass 39 % der Daten in der Stichprobe kleiner als 24 sind und der Rest der Daten größer als 24 ist.

Daher werden Quantile verwendet, um Daten aus einer Verteilung in gleiche Gruppen aufzuteilen. Darüber hinaus werden sie auch verwendet, um den Prozentsatz der Daten über oder unter einem bestimmten Wert anzugeben.

👉 Mit dem Rechner unten können Sie Quantile eines beliebigen Datensatzes berechnen.

Arten von Quantilen

Die verschiedenen Arten von Quantilen sind:

• Quartile – Quantile, die den Datensatz in vier gleiche Teile teilen. Es gibt also drei Quartile: das erste Quartil (Q ₁ ), das zweite Quartil (Q ₂ ) und das dritte Quartil (Q ₃ ).
• Quintile – Quantile, die den Datensatz in fünf gleiche Teile teilen. Somit kann es in einer Stichprobe nur vier Quintile geben. Diese Art von Quantilen wird durch den Buchstaben K ausgedrückt.
• Dezile : Quantile, die den Datensatz in zehn gleiche Teile unterteilen. Das Symbol für Dezile ist der Buchstabe D.
• Perzentile – Quantile, die den Datensatz in hundert gleiche Teile teilen. Perzentile geben auch einen Prozentsatz der Stichprobe an. Sie werden mit dem Buchstaben P benannt.

Eine der Eigenschaften, die die verschiedenen Arten von Quantilen in Beziehung setzt, besteht darin, dass der Median, das zweite Quartil, das fünfte Dezil und das 50. Perzentil denselben Wert haben.

Darüber hinaus gibt es auch andere Arten von Quantilen, die jedoch seltener verwendet werden. Unter ihnen stechen die Terzile hervor, die eine Datenreihe in drei identische Teile unterteilen, und die Bürgerwehren, die die gesammelten Daten in zwanzig gleichwertige Teile aufteilen.

Ebenso gelten alle Arten von Quantilen als nichtzentrale Positionsmaße.

So berechnen Sie Quantile

Um die Position eines Quantils eines statistischen Datensatzes zu berechnen , müssen Sie die Quantilzahl mit der Summe der Gesamtzahl der Daten plus eins multiplizieren.

Die Quantilformel lautet daher:

Bitte beachten Sie: Diese Formel gibt uns die Position des Quantils an, nicht seinen Wert. Das Quantil sind die Daten, die sich an der durch die Formel ermittelten Position befinden.

Manchmal liefert uns das Ergebnis dieser Formel jedoch eine Dezimalzahl. Wir müssen also zwei Fälle unterscheiden, je nachdem, ob das Ergebnis eine Dezimalzahl ist oder nicht:

• Wenn das Ergebnis der Formel eine Zahl ohne Dezimalteil ist, sind das Quantil die Daten, die sich an der durch die obige Formel angegebenen Position befinden.
• Wenn das Formelergebnis eine Zahl mit Dezimalteil ist, wird der genaue Quantilwert anhand der folgenden Formel berechnet:

Dabei sind x _i und x _i+1 die Zahlen der Positionen, zwischen denen sich die durch die erste Formel erhaltene Zahl befindet, und d ist der Dezimalteil der durch die erste Formel erhaltenen Zahl.

Wenn Sie denken, dass die Berechnung eines Quantils sehr kompliziert ist, machen Sie sich keine Sorgen. Lesen Sie die folgenden Beispiele und Sie werden sehen, dass es eigentlich einfach ist.

Hinweis : In der wissenschaftlichen Gemeinschaft besteht noch kein Konsens darüber, wie Quantile berechnet werden, daher gibt es ein Statistikbuch, das dies etwas anders erklärt.

Beispiele für Quantilberechnungen

Unter Berücksichtigung der Definition eines Quantils und der Theorie seiner Berechnung finden Sie im Folgenden eine gelöste Übung zur Berechnung bestimmter Quantile. Dies wird Ihnen helfen, das Konzept besser zu verstehen.

• Berechnen Sie das Quantil der Ordnung 0,50 und das Quantil der Ordnung 0,81 der folgenden statistischen Stichprobe.

Die problematischen Daten sind bereits in aufsteigender Reihenfolge sortiert, sodass keine Änderung erforderlich ist. Andernfalls hätten die Daten zunächst in Ordnung gebracht werden müssen.

Wie oben erläutert, lautet die Formel zum Ermitteln der Position eines beliebigen Quantils wie folgt:

In diesem Fall beträgt die Stichprobengröße 49 Beobachtungen. Um das 0,50-Quantil zu berechnen, müssen wir n durch 49 und p durch 0,50 ersetzen:

Quantil 0,50 ist also der Wert, der sich an der fünfundzwanzigsten Position der geordneten Liste befindet, was dem Wert 250 entspricht.

Jetzt wenden wir dieselbe Formel erneut an, um das 0,81-Quantil zu finden. Logischerweise müssen wir in diesem zweiten Beispiel p durch 0,81 ersetzen.

Aber dieses Mal haben wir eine Dezimalzahl aus der Formel (40.5) erhalten, was bedeutet, dass das Quantil zwischen Position 40 und Position 41 liegt. Um dieses Quantil zu bestimmen, müssen wir daher die zweite Methodenformel verwenden:

In diesem Fall liegt das Quantil zwischen den Positionen 40 und 41, deren Werte 286 bzw. 289 betragen. Folglich hat x _i den Wert 286, x _i+1 den Wert 289 und d ist der Dezimalteil der erhaltenen Zahl, also 0,5.

Wie Sie sehen, hängt die Berechnung eines Quantils davon ab, ob die erste Formel eine Dezimalzahl ergibt oder nicht. Wenn Sie weitere Beispiele sehen möchten, finden Sie hier weitere gelöste Übungen zu den verschiedenen Arten von Quantilen:

Quantilrechner

Geben Sie einen statistischen Datensatz und die Quantilzahl, die Sie berechnen möchten, in den Rechner unten ein. Zahlen müssen durch ein Leerzeichen getrennt und mit dem Punkt als Dezimaltrennzeichen eingegeben werden.

Quantile in gruppierten Daten

Um ein Quantil zu berechnen, wenn Daten in Intervalle gruppiert werden, müssen wir zunächst das Intervall oder die Klasse ermitteln, in die das Quantil fällt, indem wir die folgende Formel verwenden:

Das Quantil liegt daher in dem Intervall, dessen kumulierte absolute Häufigkeit unmittelbar größer ist als die im vorherigen Ausdruck erhaltene Zahl.

Und sobald wir das Intervall kennen, zu dem das Quantil gehört, müssen wir die folgende Formel anwenden, um den genauen Wert des Quantils zu ermitteln:

Gold:

• L _i ist die untere Grenze des Intervalls, in dem das Quantil liegt.
• n ist die Gesamtzahl der Beobachtungen.
• F _i-1 ist die kumulative absolute Häufigkeit des vorherigen Intervalls.
• f _i ist die absolute Häufigkeit des Intervalls, in dem das Quantil liegt.
• I _i ist die Breite des Quantilintervalls.

Um Ihnen zu zeigen, wie das geht, finden Sie hier ein konkretes Beispiel für die Berechnung von Quantilen der Größenordnung 0,29 und 0,62 für gruppierte Daten.

Um das 0,29-Quantil zu berechnen, müssen wir zunächst das Intervall ermitteln, in dem es liegt. Dazu verwenden wir die folgende Formel:

Somit liegt das Quantil in dem Intervall, dessen kumulative absolute Häufigkeit unmittelbar größer als 145,29 ist, was in diesem Fall das Intervall [350,375) ist, dessen kumulative absolute Häufigkeit 175 beträgt. Und sobald wir das Quantilintervall kennen, verwenden wir die Formel für die Sekunde Methode:

Jetzt wenden wir das gleiche Verfahren noch einmal an, um das Quantil 0,62 zu erhalten. Wir berechnen zunächst das Intervall, in dem das Quantil ist:

Das Intervall, dessen kumulative absolute Häufigkeit unmittelbar größer als 310,62 ist, ist [425,450), mit einer kumulativen absoluten Häufigkeit von 347. Daher berechnen wir den genauen Quantilwert mithilfe der zweiten Formel im Prozess: