Wann sollte s/sqrt(n) in statistiken verwendet werden?

In der Statistik begegnet man der Formel s/√ n in verschiedenen Szenarien.

Diese Formel wird verwendet, um den Standardfehler eines Stichprobenmittelwerts zu berechnen.

In der Formel stellt s die Stichprobenstandardabweichung und n die Stichprobengröße dar.

Diese Formel erscheint in der Berechnung von zwei statistischen Tests:

1. Ein Stichproben-T-Test

2. Konfidenzintervall für einen Grundgesamtheitsmittelwert

Die folgenden Beispiele zeigen, wie s/√ n in diesen beiden Szenarien verwendet wird.

Beispiel 1: Verwendung von s / sqrt(n) in einem t-Test bei einer Stichprobe

Ein T-Test bei einer Stichprobe wird verwendet, um zu testen, ob der Mittelwert einer Grundgesamtheit einem bestimmten Wert entspricht oder nicht.

Wir verwenden die folgende Formel, um die T-Test-Statistik zu berechnen:

t = ( X – μ) / (s/ √n )

Gold:

• x : Stichprobenmittel
• μ ₀ : hypothetischer Bevölkerungsdurchschnitt
• s: Stichprobenstandardabweichung
• n: Stichprobengröße

Nehmen wir zum Beispiel an, wir möchten testen, ob das durchschnittliche Gewicht der Schildkröten in einer bestimmten Population 300 Pfund beträgt.

Wir sammeln eine einfache Zufallsstichprobe von Schildkröten mit folgenden Informationen:

• Stichprobengröße n = 40
• Durchschnittliches Probengewicht x = 300
• Stichprobenstandardabweichung s = 18,5

Wir werden den Ein-Stichproben-t-Test mit den folgenden Hypothesen durchführen:

• H ₀ : μ = 310 (der Bevölkerungsdurchschnitt beträgt 310 Bücher)
• H _A : μ ≠ 310 (Bevölkerungsdurchschnitt ist nicht gleich 310 Pfund)

Zuerst berechnen wir die Teststatistik:

t = ( x – μ) / (s/ √n ) = (300-310) / (18,5/ √40 ) = -3,4187

Laut dem T-Score-zu-P-Wert-Rechner beträgt der mit t = -3,4817 und Freiheitsgraden = n-1 = 40-1 = 39 verbundene p-Wert 0,00149.

Da dieser p-Wert kleiner als 0,05 ist, lehnen wir die Nullhypothese ab. Wir haben genügend Beweise dafür, dass das Durchschnittsgewicht dieser Schildkrötenart nicht 310 Pfund beträgt.

Beispiel 2: Verwendung von s / sqrt(n) in einem Konfidenzintervall für einen Grundgesamtheitsmittelwert

Ein Konfidenzintervall für einen Grundgesamtheitsmittelwert ist ein Wertebereich, der wahrscheinlich einen Grundgesamtheitsmittelwert mit einem bestimmten Konfidenzniveau enthält.

Wir verwenden die folgende Formel, um ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert zu berechnen:

Konfidenzintervall = x +/- t _{n-1, 1-α/2} *(s/√ n )

Gold:

• x : Stichprobenmittel
• t: der t-kritische Wert
• s: Stichprobenstandardabweichung
• n: Stichprobengröße

Angenommen, wir möchten ein Konfidenzintervall für das tatsächliche Durchschnittsgewicht von Schildkröten in einer bestimmten Population berechnen.

Wir sammeln eine einfache Zufallsstichprobe von Schildkröten mit folgenden Informationen:

• Stichprobengröße n = 40
• Durchschnittliches Probengewicht x = 300
• Stichprobenstandardabweichung s = 18,5

Mit der folgenden Formel können wir ein 95 %-Konfidenzintervall für das tatsächliche Durchschnittsgewicht der Schildkrötenpopulation berechnen:

• 95 % KI = x +/- t _{n-1, 1-α/2} *(s/√ n )
• 95 % KI = 300 +/- (2,022691) * (18,5/√ 40 )
• 95 %-KI = [294,083, 305,917]

Das 95 %-Konfidenzintervall für das wahre Durchschnittsgewicht der Schildkrötenpopulation liegt zwischen 294.083 Pfund und 305.917 Pfund.

Zusätzliche Ressourcen

Die folgenden Tutorials erklären, wie man einen Standardfehler eines Mittelwerts in unterschiedlicher Software berechnet:

So berechnen Sie den Standardfehler des Mittelwerts in Excel
So berechnen Sie den Standardfehler des Mittelwerts in R
So berechnen Sie den Standardfehler des Mittelwerts in Python