Die satterthwaite-näherung: definition und beispiel

Die Satterthwaite-Näherung ist eine Formel zur Ermittlung der „effektiven Freiheitsgrade“ in einem T-Test mit zwei Stichproben.

Er wird am häufigsten im Welch-T-Test verwendet, der die Mittelwerte zweier unabhängiger Stichproben vergleicht, ohne davon auszugehen, dass die Populationen, aus denen die Stichproben gezogen werden, gleiche Varianzen aufweisen.

Die Formel für die Satterthwaite-Näherung lautet wie folgt:

 Degrees of freedom: (s 1 2 /n 1 + s 2 2 /n 2 ) 2 / {[(s 1 2 /n 1 ) 2 /(n 1 – 1)] + [(s 2 2 /n 2 ) 2 /(n 2 – 1)]}

Gold:

• s ₁ ² , s ₂ ² : Die Stichprobenvarianz der ersten bzw. zweiten Stichprobe.
• _n1 , _n2 : Die Stichprobengröße der ersten bzw. zweiten Stichprobe.

Das folgende Beispiel zeigt, wie die Satterthwaite-Näherung zur Berechnung der effektiven Freiheitsgrade verwendet wird.

Beispiel: Berechnung der Satterthwaite-Näherung

Angenommen, wir möchten wissen, ob die durchschnittliche Höhe zweier verschiedener Pflanzenarten gleich ist. Daher werden wir von jeder Art zwei einfache Zufallsproben sammeln und die Höhe der Pflanzen in jeder Probe messen.

Die folgenden Werte geben die Höhe (in Zoll) jeder Probe an:

Probe 1: 14, 15, 15, 15, 16, 18, 22, 23, 24, 25, 25

Probe 2: 10, 12, 14, 15, 18, 22, 24, 27, 31, 33, 34, 34, 34

Die Mittelwerte, Varianzen und Stichprobengrößen ergeben sich wie folgt:

• x1 ₌ 19,27
• x2 ₌ 23,69
• s ₁ ² = 20,42
• s ₂ ² = 83,23
• n1 ₌ 11
• n2 = ₁₃

Dann können wir die Werte der Varianzen und Stichprobengrößen in die Satterthwaite-Näherungsformel einsetzen, um die effektiven Freiheitsgrade zu ermitteln:

 df = (s 1 2 /n 1 + s 2 2 /n 2 ) 2 / {[(s 1 2 /n 1 ) 2 /(n 1 – 1)] + [(s 2 2 /n 2 ) 2 / (n 2 – 1)]} 

df = (20.42/11 + 83.23/13) 2 /{[(20.42/11) 2 /(11 – 1)] + [(83.23/13) 2 /(13 – 1)]} = 18.137

Die effektiven Freiheitsgrade betragen 18.137 .

Normalerweise runden wir diesen Wert auf die nächste ganze Zahl, sodass die Freiheitsgrade, die wir in unserem Welch-T-Test verwenden würden, 18 sind.

Schließlich finden wir den kritischen Wert t in der t-Verteilungstabelle, der einem zweiseitigen Test mit Alpha = 0,05 für 18 Freiheitsgrade entspricht:

Der kritische Wert t beträgt 2,101 .

Unsere Teststatistik würden wir dann wie folgt berechnen:

Teststatistik: ( x ₁ – x ₂ ) / (√ s ₁ ² /n ₁ + s ₂ ² /n ₂ )

Teststatistik: (19,27 – 23,69) / (√ 20,42/11 + 83,23/13 ) = -4,42 / 2,873 = -1,538

Da der Absolutwert unserer Teststatistik (1,538) nicht größer als der kritische Wert t ist, können wir die Nullhypothese des Tests nicht ablehnen.

Es gibt nicht genügend Belege dafür, dass die Mittelwerte der beiden Populationen signifikant unterschiedlich sind.

Die Satterthwaite-Näherung in der Praxis

In der Praxis werden Sie die Satterthwaite-Näherung selten manuell berechnen müssen.

Stattdessen können gängige Statistiksoftware wie R, Python, Excel, SAS und Stata die Satterthwaite-Näherung verwenden, um die effektiven Freiheitsgrade automatisch für Sie zu berechnen.

Zusätzliche Ressourcen

Einführung in das Testen von Hypothesen
Eine Einführung in den T-Test bei zwei Stichproben
Eine Einführung in den Welch-t-Test