Konfidenzintervall für eine standardabweichung

Ein Konfidenzintervall für eine Standardabweichung ist ein Wertebereich, der wahrscheinlich eine Populationsstandardabweichung mit einem bestimmten Konfidenzniveau enthält.

In diesem Tutorial wird Folgendes erklärt:

• Die Motivation, dieses Konfidenzintervall zu erstellen.
• Die Formel zum Erstellen dieses Konfidenzintervalls.
• Ein Beispiel für die Berechnung dieses Konfidenzintervalls.
• Wie ist dieses Konfidenzintervall zu interpretieren?

Konfidenzintervall für eine Standardabweichung: Motivation

Der Grund, warum wir ein Konfidenzintervall für eine Standardabweichung erstellen, besteht darin, dass wir unsere Unsicherheit bei der Schätzung einer Grundgesamtheitsstandardabweichung erfassen möchten.

Angenommen, wir möchten die Standardabweichung des Gewichts einer bestimmten Schildkrötenart in Florida schätzen. Da es in Florida Tausende von Schildkröten gibt, wäre es äußerst zeitaufwändig und teuer, jede Schildkröte einzeln zu wiegen.

Stattdessen könnten wir eine einfache Zufallsstichprobe von 50 Schildkröten nehmen und die Standardabweichung des Gewichts der Schildkröten in dieser Stichprobe verwenden, um die tatsächliche Standardabweichung der Population zu schätzen:

Das Problem besteht darin, dass nicht garantiert werden kann, dass die Standardabweichung der Stichprobe genau mit der Standardabweichung der gesamten Grundgesamtheit übereinstimmt. Um diese Unsicherheit zu erfassen, können wir ein Konfidenzintervall erstellen, das einen Wertebereich enthält, der wahrscheinlich die wahre Standardabweichung der Grundgesamtheit enthält.

Konfidenzintervall für eine Standardabweichung: Formel

Wir verwenden die folgende Formel, um ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert zu berechnen:

Konfidenzintervall = [√(n-1)s ² /X ² _α/2 , √(n-1)s ² /X ² _1-α/2 ]

Gold:

• n: Stichprobengröße
• s: Stichprobenstandardabweichung
• X ² : Kritischer Wert des Chi-Quadrats mit n-1 Freiheitsgraden.

Konfidenzintervall für eine Standardabweichung: Beispiel

Angenommen, wir sammeln eine Zufallsstichprobe von Schildkröten mit den folgenden Informationen:

• Stichprobengröße n = 27
• Stichprobenstandardabweichung s = 6,43

So finden Sie verschiedene Konfidenzintervalle für die tatsächliche Standardabweichung der Grundgesamtheit:

90 %-Konfidenzintervall: [ √ (27-1)*6,43 ² /38,885, √ (27-1)*6,43 ^{2 /} 15,379) = [5,258, 8,361]

95 %-Konfidenzintervall: [ √ (27-1)*6,43 ² /41,923, √ (27-1)*6,43 ^{2 /} 13,844) = [5,064, 8,812]

99 %-Konfidenzintervall: [ √ (27-1)*6,43 ² /48,289, √ (27-1)*6,43 ^{2 /} 11,160) = [4,718, 9,814]

Hinweis: Sie können diese Konfidenzintervalle auch mit dem Konfidenzintervall-Rechner für Standardabweichungen ermitteln.

Konfidenzintervall für eine Standardabweichung: Interpretation

Die Art und Weise, wie wir ein Konfidenzintervall interpretieren würden, ist:

Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 95 %, dass das Konfidenzintervall von [5,064, 8,812] die wahre Standardabweichung der Grundgesamtheit enthält.

Anders ausgedrückt: Die Wahrscheinlichkeit, dass die tatsächliche Standardabweichung der Grundgesamtheit außerhalb des 95 %-Konfidenzintervalls liegt, beträgt nur 5 %. Das heißt, es besteht nur eine 5-prozentige Chance, dass die tatsächliche Standardabweichung der Grundgesamtheit größer als 8.812 oder kleiner als 5.064 ist.