Standardfehler der proportionen: formel und beispiel

In der Statistik geht es oft darum, den Anteil der Individuen in einer Population mit einem bestimmten Merkmal abzuschätzen.

Beispielsweise möchten wir möglicherweise den Anteil der Einwohner einer bestimmten Stadt schätzen, die ein neues Gesetz unterstützen.

Anstatt jeden Einwohner zu fragen, ob er das Gesetz unterstützt, würden wir stattdessen eine einfache Zufallsstichprobe sammeln und herausfinden, wie viele Einwohner in der Stichprobe das Gesetz unterstützen.

Den Stichprobenanteil (p̂) würden wir dann wie folgt berechnen:

Beispiel einer Proportionsformel:

p̂ = x / n

Gold:

• x: Die Anzahl der Personen in der Stichprobe mit einem bestimmten Merkmal.
• n: Die Gesamtzahl der Personen in der Stichprobe.

Wir würden diesen Stichprobenanteil dann verwenden, um den Bevölkerungsanteil zu schätzen . Wenn beispielsweise 47 der 300 Einwohner in der Stichprobe das neue Gesetz befürworteten, würde der Stichprobenanteil wie folgt berechnet: 47/300 = 0,157 .

Dies bedeutet, dass unsere beste Schätzung des Anteils der Einwohner an der Bevölkerung, die das Gesetz unterstützen, bei 0,157 liegen würde.

Es gibt jedoch keine Garantie dafür, dass diese Schätzung genau dem tatsächlichen Bevölkerungsanteil entspricht, daher berechnen wir normalerweise auch den Standardfehler des Anteils .

Dies wird wie folgt berechnet:

Standardfehler der Proportionsformel:

Standardfehler = √ p̂(1-p̂) / n

Wenn beispielsweise p̂ = 0,157 und n = 300, dann würden wir den Standardfehler des Anteils wie folgt berechnen:

Standardfehler der Proportionen = √ .157(1-.157) / 300 = 0,021

Anschließend verwenden wir normalerweise diesen Standardfehler, um ein Konfidenzintervall für den tatsächlichen Anteil der Einwohner zu berechnen, die das Gesetz unterstützen.

Dies wird wie folgt berechnet:

Konfidenzintervall für eine Bevölkerungsanteilsformel:

Konfidenzintervall = p̂ +/- z*√ p̂(1-p̂) / n

Wenn man sich diese Formel ansieht, ist leicht zu erkennen, dass das Konfidenzintervall umso größer ist, je größer der Standardfehler des Anteils ist .

Beachten Sie, dass das z in der Formel der z-Wert ist, der den häufigsten Konfidenzniveauoptionen entspricht:

So berechnen Sie beispielsweise ein 95 %-Konfidenzintervall für den tatsächlichen Anteil der Stadtbewohner, die das neue Gesetz unterstützen:

• 95 % KI = p̂ +/- z*√ p̂(1-p̂) / n
• 95 % KI = 0,157 +/- 1,96*√ 0,157(1-0,157) / 300
• 95 % KI = 0,157 +/- 1,96*(0,021)
• 95 % KI = [.10884, .19816]

Wir würden also mit 95-prozentiger Sicherheit sagen, dass der tatsächliche Anteil der Stadtbewohner, die das neue Gesetz unterstützen, zwischen 10.884 % und 19.816 % liegt.

Zusätzliche Ressourcen

Standardfehler des Proportionsrechners
Konfidenzintervall für Proportionsrechner
Was ist ein Bevölkerungsanteil?