Was ist stichprobenvariabilität? definition & beispiel

In der Statistik wollen wir oft Fragen beantworten wie:

• Wie hoch ist das durchschnittliche Haushaltseinkommen in einem bestimmten Bundesstaat?
• Was ist das durchschnittliche Gewicht einer bestimmten Schildkrötenart?
• Wie hoch ist die durchschnittliche Besucherzahl bei College-Football-Spielen?

In jedem Szenario möchten wir eine Frage zu einer Population beantworten, die alle möglichen Einzelelemente repräsentiert, die wir messen möchten.

Anstatt Daten zu jedem Einzelnen in einer Population zu sammeln, sammeln wir jedoch Daten zu einer Stichprobe der Population, die einen Teil der Gesamtbevölkerung darstellt.

Beispielsweise möchten wir möglicherweise das Durchschnittsgewicht einer bestimmten Schildkrötenart kennen, deren Gesamtpopulation 800 Schildkröten umfasst.

Da es zu lange dauern würde, jede Schildkröte in der Population zu lokalisieren und zu wiegen, sammeln wir stattdessen eine einfache Zufallsstichprobe von 30 Schildkröten und wiegen sie:

Wir könnten dann das Durchschnittsgewicht dieser Schildkrötenprobe verwenden, um das Durchschnittsgewicht aller Schildkröten in der Population abzuschätzen.

Unter Stichprobenvariabilität versteht man die Tatsache, dass der Mittelwert von Stichprobe zu Stichprobe schwankt.

Beispielsweise kann sich bei einer Zufallsstichprobe von 30 Schildkröten herausstellen, dass der Stichprobenmittelwert 350 Pfund beträgt. In einer anderen Zufallsstichprobe kann der Stichprobenmittelwert 345 Pfund betragen. In einer weiteren Stichprobe könnte der Stichprobendurchschnitt 355 Pfund betragen.

Es gibt Unterschiede zwischen den Stichprobenmittelwerten.

So messen Sie die Stichprobenvariabilität

In der Praxis sammeln wir nur eine einzige Stichprobe, um einen Populationsparameter zu schätzen. Beispielsweise werden wir nur eine einzige Probe von 30 Meeresschildkröten sammeln, um das Durchschnittsgewicht der gesamten Schildkrötenpopulation abzuschätzen.

Das bedeutet, dass wir nur einen Stichprobenmittelwert ( x ) berechnen und ihn zur Schätzung des Grundgesamtheitsmittelwerts (μ) verwenden.

Stichprobenmittelwert = x

Wir wissen jedoch, dass die Stichprobenmittelwerte von Stichprobe zu Stichprobe variieren. Um diese Variabilität zu berücksichtigen, können wir die folgende Formel verwenden, um die Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts zu schätzen:

Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts = s/ √n

Gold:

• s: die Standardabweichung der Stichprobe
• n: Die Stichprobengröße

Angenommen, wir nehmen eine Probe von 30 Meeresschildkröten und stellen fest, dass das Durchschnittsgewicht der Probe 350 Pfund beträgt und die Standardabweichung der Probe 12 Pfund beträgt. Basierend auf diesen Zahlen würden wir berechnen:

Stichprobendurchschnitt = 350 Bücher

Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts = 12 / √ 30 = 2,19 Pfund

Das bedeutet, dass unsere beste Schätzung des wahren Populationsdurchschnittsgewichts aller Schildkröten bei 350 Pfund liegt, wir sollten jedoch damit rechnen, dass der Stichprobenmittelwert mit einer Standardabweichung von etwa 2,19 Pfund schwankt.

Eine interessante Eigenschaft der Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts besteht darin, dass sie natürlich kleiner wird, wenn wir immer größere Stichprobengrößen verwenden.

Angenommen, wir nehmen eine Stichprobe von 100 Meeresschildkröten und stellen fest, dass das mittlere Gewicht der Stichprobe 350 Pfund und die Standardabweichung der Stichprobe 12 Pfund beträgt. Die Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts würde dann wie folgt berechnet:

Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts = 12 / √ 100 = 1,2 Pfund

Unsere beste Schätzung des Stichprobenmittelwerts würde immer noch bei 350 Pfund liegen, aber wir können davon ausgehen, dass der Mittelwert von einer Stichprobe von 100 Meeresschildkröten zur nächsten Stichprobe von 100 Meeresschildkröten mit einer Standardabweichung von nur 1,2 Pfund schwankt.

Mit anderen Worten: Je größer die Stichprobengröße ist, desto geringer ist die Variabilität zwischen den Stichprobenmittelwerten.

Zusätzliche Ressourcen

Was ist eine Stichprobenverteilung?
Eine Einführung in den zentralen Grenzwertsatz
Zentraler Grenzwertsatz-Rechner