Theoretische wahrscheinlichkeit: definition + beispiele

Wahrscheinlichkeit ist ein Thema der Statistik, das die Wahrscheinlichkeit des Eintretens bestimmter Ereignisse beschreibt. Wenn wir über Wahrscheinlichkeit sprechen, beziehen wir uns oft auf einen von zwei Typen:

1. Theoretische Wahrscheinlichkeit

Die theoretische Wahrscheinlichkeit ist die auf reiner Mathematik basierende Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses. Die Formel zur Berechnung der theoretischen Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A lautet:

P( A ) = Anzahl der gewünschten Ergebnisse / Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse

Beispielsweise kann die theoretische Wahrscheinlichkeit, dass ein Würfel nach einem Wurf auf „2“ landet, wie folgt berechnet werden:

P( auf 2 landen ) = (nur auf eine Weise können die Würfel auf 2 landen) / (sechs mögliche Seiten, auf denen die Würfel landen können) = 1/6

2. Experimentelle Wahrscheinlichkeit

Die experimentelle Wahrscheinlichkeit ist die tatsächliche Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses, das Sie in einem Experiment direkt beobachten. Die Formel zur Berechnung der experimentellen Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A lautet:

P( A ) = Häufigkeit des Auftretens des Ereignisses / Gesamtzahl der Versuche

Nehmen wir zum Beispiel an, wir würfeln elf Mal und er landet dreimal auf einer „2“. Die experimentelle Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel auf „2“ fällt, lässt sich wie folgt berechnen:

P( auf 2 landen ) = (dreimal auf 2 landen) / (11 Mal würfeln) = 3/11

Wie man sich an den Unterschied erinnert

Mit dem folgenden Trick können Sie sich den Unterschied zwischen theoretischer und experimenteller Wahrscheinlichkeit merken:

• Die theoretische Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich theoretisch mithilfe der Mathematik berechnen.
• Die experimentelle Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses kann durch direkte Beobachtung der Ergebnisse eines Experiments berechnet werden.

Der Vorteil der Verwendung der theoretischen Wahrscheinlichkeit

Statistiker berechnen oft gerne die theoretische Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, da diese viel einfacher und schneller zu berechnen ist als die Durchführung eines tatsächlichen Experiments.

Angenommen, es ist bekannt, dass einer von 30 Schülern einer bestimmten Schule nach der Schule zusätzliche Hilfe bei seinen Mathe-Hausaufgaben benötigt. Anstatt abzuwarten, wie viele Schüler zur Hausaufgabenhilfe nach der Schule erscheinen, könnte ein Schulverwalter stattdessen die Gesamtzahl der Schüler in der Schule berechnen (angenommen, es sind 300) und diese mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit (1/30) multiplizieren, um das herauszufinden dass es voraussichtlich notwendig sein wird, dass 10 Personen anwesend sind, um jedem Schüler individuell zu helfen.

Beispiele für theoretische Wahrscheinlichkeit

Experimentelle Wahrscheinlichkeiten sind im Allgemeinen einfacher zu berechnen als theoretische Wahrscheinlichkeiten, da sie lediglich das Zählen der Häufigkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis tatsächlich eingetreten ist, im Verhältnis zur Gesamtzahl der Versuche beinhalten.

Umgekehrt können theoretische Wahrscheinlichkeiten schwieriger zu berechnen sein. Hier sind einige Beispiele für die Berechnung theoretischer Wahrscheinlichkeiten, die Ihnen helfen sollen, das Thema zu meistern.

Beispiel 1

Eine Tasche enthält folgende Gegenstände:

• 3 rote Kugeln
• 4 grüne Kugeln
• 2 lila Kugeln

Frage: Wenn Sie Ihre Augen schließen und zufällig einen Ball auswählen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er grün ist?

Antwort: Mit der folgenden Formel können wir die theoretische Wahrscheinlichkeit berechnen, einen grünen Ball zu entfernen:

P ( grün ) = (4 grüne Kugeln) / (insgesamt 9 Kugeln) = 4/9

Beispiel 2

Sie haben einen 9-seitigen Würfel mit den Zahlen 1 bis 9 auf den Seiten.

Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel auf „7“ landet, wenn Sie ihn nur einmal würfeln?

Antwort: Mit der folgenden Formel können wir die theoretische Wahrscheinlichkeit berechnen, dass der Würfel auf die 7 fällt:

P( landet auf 7 ) = (nur eine Möglichkeit für die Würfel, auf 7 zu landen) / (9 mögliche Seiten) = 1/9

Beispiel 3

Eine Tüte enthält die Namen von 3 Jungen und 7 Mädchen.

Frage: Wenn Sie Ihre Augen schließen und zufällig einen Namen aus der Tüte entfernen, wie wahrscheinlich ist es dann, dass Sie den Namen eines Mädchens entfernen?

Antwort: Mit der folgenden Formel können wir die theoretische Wahrscheinlichkeit berechnen, dass Sie den Namen eines Mädchens entfernen:

P ( Mädchennamen ) = (7 mögliche Mädchennamen) / (insgesamt 10 Namen) = 7/10