Was sind konfidenzintervalle?

In der Statistik sind wir häufig an der Messung von Populationsparametern interessiert, also Zahlen, die bestimmte Merkmale einer gesamten Population beschreiben.

Zwei der häufigsten Populationsparameter sind:

1. Bevölkerungsmittelwert: der Durchschnittswert einer Variablen in einer Bevölkerung (z. B. die durchschnittliche Größe von Männern in den Vereinigten Staaten)

2. Bevölkerungsanteil: der Anteil einer Variablen in einer Bevölkerung (z. B. der Anteil der Einwohner eines Landkreises, die ein bestimmtes Gesetz unterstützen)

Selbst wenn wir diese Parameter messen wollen, ist es im Allgemeinen zu teuer und zu zeitaufwändig, Daten über jedes Individuum in einer Population zu sammeln, um den Populationsparameter zu berechnen.

Stattdessen nehmen wir normalerweise eine Zufallsstichprobe der Gesamtbevölkerung und nutzen die Stichprobendaten, um den Bevölkerungsparameter zu schätzen.

Nehmen wir zum Beispiel an, wir möchten das Durchschnittsgewicht einer bestimmten Schildkrötenart in Florida schätzen. Da es in Florida Tausende von Schildkröten gibt, wäre es äußerst zeitaufwändig und teuer, jede Schildkröte einzeln zu wiegen.

Stattdessen könnten wir eine einfache Zufallsstichprobe von 50 Schildkröten nehmen und das Durchschnittsgewicht der Schildkröten in dieser Stichprobe verwenden, um den wahren Bevölkerungsdurchschnitt zu schätzen:

Das Problem besteht darin, dass nicht garantiert werden kann, dass das Durchschnittsgewicht der Schildkröten in der Stichprobe genau mit dem Durchschnittsgewicht der Schildkröten in der gesamten Population übereinstimmt. Beispielsweise könnten wir eine Stichprobe voller Schildkröten mit geringem Gewicht oder vielleicht eine Stichprobe voller schwerer Schildkröten auswählen.

Um diese Unsicherheit zu erfassen, können wir ein Konfidenzintervall erstellen. Ein Konfidenzintervall ist ein Wertebereich, der wahrscheinlich einen Populationsparameter mit einem bestimmten Konfidenzniveau enthält. Die Berechnung erfolgt nach folgender allgemeiner Formel:

Konfidenzintervall = (Punktschätzung) +/- (kritischer Wert)* (Standardfehler)

Diese Formel erstellt ein Intervall mit einer Untergrenze und einer Obergrenze, das wahrscheinlich einen Populationsparameter mit einem bestimmten Konfidenzniveau enthält.

Konfidenzintervall = [untere Grenze, obere Grenze]

Die Formel zur Berechnung eines Konfidenzintervalls für einen Grundgesamtheitsmittelwert lautet beispielsweise:

Konfidenzintervall = x +/- z*(s/√ n )

Gold:

• x : Stichprobenmittelwert
• z: der gewählte z-Wert
• s: Stichprobenstandardabweichung
• n: Stichprobengröße

Der von Ihnen verwendete Z-Wert hängt vom gewählten Konfidenzniveau ab. Die folgende Tabelle zeigt den Z-Wert, der den häufigsten Konfidenzniveauoptionen entspricht:

Angenommen, wir sammeln eine Zufallsstichprobe von Schildkröten mit den folgenden Informationen:

• Stichprobengröße n = 25
• Durchschnittliches Probengewicht x = 300
• Stichprobenstandardabweichung s = 18,5

So berechnen Sie das 90 %-Konfidenzintervall für das tatsächliche Durchschnittsgewicht der Bevölkerung:

90 %-Konfidenzintervall: 300 +/- 1,645*(18,5/√25) = [293,91, 306,09]

Wir interpretieren dieses Konfidenzintervall wie folgt:

Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 90 %, dass das Konfidenzintervall von [293,91, 306,09] das wahre Durchschnittsgewicht der Schildkrötenpopulation enthält.

Anders ausgedrückt: Die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit außerhalb des 90 %-Konfidenzintervalls liegt, beträgt nur 10 %. Das heißt, es besteht nur eine 10-prozentige Wahrscheinlichkeit, dass das tatsächliche Durchschnittsgewicht der Schildkrötenpopulation mehr als 306,09 Pfund oder weniger als 293,91 Pfund beträgt.

Es nützt nichts, dass es zwei Zahlen gibt, die die Größe eines Konfidenzintervalls beeinflussen können:

1. Stichprobengröße: Je größer die Stichprobengröße, desto enger das Konfidenzintervall.

2. Das Konfidenzniveau: Je höher das Konfidenzniveau, desto breiter das Konfidenzintervall.

Arten von Konfidenzintervallen

Es gibt viele Arten von Konfidenzintervallen. Hier sind die am häufigsten verwendeten:

Konfidenzintervall für einen Mittelwert

Ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert ist ein Wertebereich, der wahrscheinlich einen Populationsmittelwert mit einem bestimmten Konfidenzniveau enthält. Die Formel zur Berechnung dieses Intervalls lautet wie folgt:

Konfidenzintervall = x +/- z*(s/√ n )

Gold:

• x : Stichprobenmittelwert
• z: der gewählte z-Wert
• s: Stichprobenstandardabweichung
• n: Stichprobengröße

Ressourcen:
So berechnen Sie ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert
Konfidenzintervall für einen Durchschnittsrechner

Konfidenzintervall für die Differenz zwischen den Mittelwerten

Ein Konfidenzintervall (CI) für eine Differenz zwischen Mittelwerten ist ein Wertebereich, der mit einem bestimmten Konfidenzniveau wahrscheinlich die wahre Differenz zwischen zwei Populationsmittelwerten enthält. Die Formel zur Berechnung dieses Intervalls lautet wie folgt:

Konfidenzintervall = ( x ₁ – x ₂ ) +/- t*√((s _p ² /n ₁ ) + (s _p ² /n ₂ ))

Gold:

• x ₁ , x ₂ : Mittelwert von Stichprobe 1, Mittelwert von Stichprobe 2
• t: der t-kritische Wert basierend auf dem Konfidenzniveau und den Freiheitsgraden (n ₁ + n ₂ -2).
• s _p ² : gepoolte Varianz
• n ₁ , n ₂ : Stichprobengröße 1, Stichprobengröße 2

Gold:

• Die gepoolte Varianz wird wie folgt berechnet: s _p ² = ((n ₁ -1)s ₁ ² + (n ₂ -1)s ₂ ² ) / (n ₁ +n ₂ -2)
• Der t-kritische Wert t kann mit dem inversen t-Verteilungsrechner ermittelt werden.

Ressourcen:
So berechnen Sie ein Konfidenzintervall für die Differenz zwischen Mittelwerten
Konfidenzintervall für Differenz-Mittelwert-Rechner

Konfidenzintervall für einen Anteil

Ein Konfidenzintervall für einen Anteil ist ein Wertebereich, der wahrscheinlich einen Bevölkerungsanteil mit einem bestimmten Konfidenzniveau enthält. Die Formel zur Berechnung dieses Intervalls lautet wie folgt:

Konfidenzintervall = p +/- z*(√ p(1-p) / n )

Gold:

• p: Stichprobenanteil
• z: der gewählte z-Wert
• n: Stichprobengröße

Ressourcen:
So berechnen Sie ein Konfidenzintervall für einen Anteil
Konfidenzintervall für einen Proportionenrechner

Konfidenzintervall für Unterschiede in den Proportionen

Ein Konfidenzintervall für den Anteilsunterschied ist ein Wertebereich, der mit einem bestimmten Konfidenzniveau wahrscheinlich den wahren Unterschied zwischen zwei Bevölkerungsanteilen enthält. Die Formel zur Berechnung dieses Intervalls lautet wie folgt:

Konfidenzintervall = (p ₁ – _{p 2} ) +/- z*√(p ₁ (1-p ₁ )/n ₁ + p ₂ (1-p ₂ )/n ₂ )

Gold:

• p ₁ , p ₂ : Anteil von Probe 1, Anteil von Probe 2
• z: der z-kritische Wert basierend auf dem Konfidenzniveau
• n ₁ , n ₂ : Stichprobengröße 1, Stichprobengröße 2

Ressourcen:
So berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Unterschied in den Proportionen
Konfidenzintervall für den Differenz-in-Proportions-Rechner