Wahrscheinlichkeit der vereinigung von ereignissen

In diesem Artikel erklären wir, wie man die Vereinigungswahrscheinlichkeit von Ereignissen berechnet. So erfahren Sie, wie die Formel für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen lautet, und lösen zusätzlich Übungen Schritt für Schritt.

Was ist die Vereinigung von Ereignissen?

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Vereinigung von Ereignissen eine Ereignisoperation, deren Ergebnis sich aus allen Elementarereignissen der Mengen der Operation zusammensetzt. Mit anderen Worten: Die Vereinigung zweier Ereignisse A und B ist die Menge der Ereignisse, die in A, in B oder in beiden vorkommen.

Die Vereinigung zweier Ereignisse wird durch das Symbol ⋃ ausgedrückt. Somit wird die Vereinigung der Ereignisse A und B als A⋃B geschrieben.

Wenn zum Beispiel im Zufallsexperiment des Würfelns ein Ereignis eine ungerade Zahl A={1, 3, 5} und ein anderes Ereignis eine Zahl kleiner als drei B={1, 2} würfelt, ist die Vereinigung der beiden Ereignisse sind A⋃B={1, 2, 3, 5}.

Formel für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen

Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse ist gleich der Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses plus der Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses minus der Schnittwahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse.

Mit anderen Worten lautet die Formel für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B).

Gold:

• 

  ist die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignis A und Ereignis B.

• 

  ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt.

• 

  ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt.

• 

  ist die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts von Ereignis A und Ereignis B.

Wenn die beiden Ereignisse jedoch nicht kompatibel sind, ist der Schnittpunkt zwischen den beiden Ereignissen Null. Daher wird die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier inkompatibler Ereignisse berechnet, indem die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes Ereignisses addiert wird.

Gelöste Beispiele für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen

Damit Sie sehen können, wie die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse berechnet wird, hinterlassen wir Ihnen unten zwei Beispiele, die Schritt für Schritt gelöst werden. Wir ermitteln zunächst die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier inkompatibler Ereignisse und dann die Wahrscheinlichkeit zweier kompatibler Ereignisse, da die Berechnung etwas anders ist.

Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier inkompatibler Ereignisse

• Wir legen 10 blaue Kugeln, 6 orangefarbene Kugeln und 4 grüne Kugeln in eine Schachtel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue oder orangefarbene Kugel zu ziehen?

In der Übung werden wir aufgefordert, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, mit der das eine oder andere Ereignis eintritt. Um das Problem zu lösen, müssen wir daher die Formel für die Vereinigung zweier Ereignisse verwenden:

Daher berechnen wir zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis separat eintritt, mithilfe der Laplace-Regelformel :

In diesem Fall können jedoch nicht beide Ereignisse gleichzeitig auftreten, da es sich um zwei inkompatible Ereignisse handelt. Wenn wir also einen blauen Ball zeichnen, können wir keinen orangefarbenen Ball mehr zeichnen und umgekehrt.

Daher ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit beider Ereignisse Null und daher wird die Formel vereinfacht:

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, einen blauen oder orangefarbenen Ball zu fangen, lautet also wie folgt:

Kurz gesagt beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen blauen oder orangefarbenen Ball aus der Schachtel zu entfernen, 80 %.

Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier kompatibler Ereignisse

• Wenn wir eine Münze zweimal werfen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei mindestens einem Wurf „Kopf“ bekommen?

In diesem Fall sind die Ereignisse kompatibel, da wir beim ersten Wurf „Kopf“ und beim zweiten Wurf „Zahl“ erhalten können. Daher ist die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen nicht vereinfacht und lautet wie folgt:

Wir müssen also zunächst die Wahrscheinlichkeit berechnen, bei einem Münzwurf „Kopf“ zu bekommen, indem wir die Laplace-Regel anwenden:

Berechnen wir nun die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts der beiden Ereignisse mithilfe der Multiplikationsregelformel :

Um schließlich die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass bei mindestens einem der beiden Würfe „Kopf“ fällt, setzen Sie einfach die Werte in die Formel ein und führen Sie die Berechnung durch:

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze, wenn man sie zweimal wirft, mindestens einmal „Kopf“ zeigt, 75 % beträgt.

Eigenschaften von Ereignisgewerkschaften

In der Wahrscheinlichkeitstheorie erfüllt die Funktionsweise der Ereignisvereinigung die folgenden Eigenschaften:

• Kommutative Eigenschaft: Die Reihenfolge der Ereignisse in der Vereinigung verändert das Ergebnis der Operation nicht.

• Assoziative Eigenschaft: Die Vereinigung dreier Ereignisse kann in beliebiger Reihenfolge berechnet werden, da das Ergebnis dasselbe ist.

• Verteilungseigenschaft: Die Vereinigung von Ereignissen verwirklicht die Verteilungseigenschaft mit der Schnittmenge von Ereignissen.