Wie finde ich die wahrscheinlichkeit von mindestens einem? erfolg
Die Wahrscheinlichkeit sagt uns, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Ereignis eintritt.
Angenommen, 4 % aller Schüler einer bestimmten Schule bevorzugen Mathematik als ihr Lieblingsfach. Wenn wir einen Schüler zufällig auswählen, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass er oder sie Mathematik bevorzugt, bei 4 %.
Aber wir sind oft an Wahrscheinlichkeiten interessiert, die mehrere Versuche erfordern. Wenn wir beispielsweise zufällig drei Schüler auswählen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer von ihnen Mathematik bevorzugt?
Zur Beantwortung dieser Frage können wir folgende Schritte nutzen:
1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler Mathematik nicht bevorzugt.
Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler Mathematik bevorzugt, P (bevorzugt Mathematik) = 0,04 beträgt.
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler Mathematik nicht bevorzugt, P(bevorzugt Mathematik nicht) = 0,96.
2. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nicht alle ausgewählten Schüler Mathematik bevorzugen.
Da die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Schüler Mathematik bevorzugt, unabhängig voneinander ist, können wir die einzelnen Wahrscheinlichkeiten einfach miteinander multiplizieren:
P(nicht alle Schüler bevorzugen Mathematik) = 0,96 * 0,96 * 0,96 = 0,8847.
Dies stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass die drei Schüler Mathematik nicht als ihr Lieblingsfach bevorzugen.
3. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Schüler Mathematik bevorzugt.
Abschließend wird die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Schüler Mathematik bevorzugt, wie folgt berechnet:
P(mindestens einer bevorzugt Mathematik) = 1 – P(nicht alle bevorzugen Mathematik) = 1 – .8847 = .1153 .
Es stellt sich heraus, dass wir die folgende allgemeine Formel verwenden können, um die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg in einer Reihe von Versuchen zu ermitteln:
P(at least one success) = 1 - P(failure in one trial) n
In der obigen Formel stellt n die Gesamtzahl der Versuche dar.
Mit dieser Formel hätten wir beispielsweise die Wahrscheinlichkeit ermitteln können, dass mindestens ein Schüler in einer Zufallsstichprobe von drei Schülern Mathematik als sein Lieblingsfach bevorzugt:
P (mindestens ein Schüler bevorzugt Mathematik) = 1 – (0,96) 3 = 0,1153 .
Dies entspricht der Antwort, die wir mithilfe des oben beschriebenen dreistufigen Prozesses erhalten haben.
Nutzen Sie die folgenden Beispiele als zusätzliche Übung, um die Wahrscheinlichkeit von „mindestens einem“ Erfolg zu ermitteln.
Verwandte Themen: Wie man die Wahrscheinlichkeit von „mindestens zwei“ Erfolgen ermittelt
Beispiel 1: Freiwurfversuche
Mike macht 20 % seiner Freiwurfversuche. Wenn er fünf Freiwürfe versucht, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens einen Freiwurf macht.
Lösung:
- P(macht mindestens einen) = 1 – P(verfehlt einen bestimmten Versuch) n
- P(macht mindestens einen) = 1 – (0,80) 5
- P(macht mindestens einen) = 0,672
Die Wahrscheinlichkeit, dass Mike bei fünf Versuchen mindestens einen Freiwurf macht, beträgt 0,672 .
Beispiel 2: Widgets
In einer bestimmten Fabrik sind 2 % aller Widgets defekt. Bestimmen Sie in einer Zufallsstichprobe von 10 Widgets die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines defekt ist.
Lösung:
- P (mindestens ein defekt) = 1 – P (das angegebene Widget ist nicht defekt) n
- P(mindestens einer defekt) = 1 – (0,98) 10
- P(mindestens einer defekt) = 0,183
Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Zufallsstichprobe von 10 mindestens ein Widget defekt ist, beträgt 0,183 .
Beispiel 3: Trivia-Fragen
Bob beantwortet 75 % der Quizfragen richtig. Wenn wir ihm drei triviale Fragen stellen, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens eine falsch beantwortet.
Lösung:
- P(mindestens eine falsche) = 1 – P(die gegebene Antwort ist richtig) n
- P (mindestens einer falsch) = 1 – (0,75) 3
- P (mindestens eine falsche) = 0,578
Die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens eine Frage falsch beantwortet, beträgt 0,578 .
Bonus: Wahrscheinlichkeitsrechner für „mindestens einen“
Verwenden Sie diesen Rechner, um automatisch die Wahrscheinlichkeit von „mindestens einem“ Erfolg zu ermitteln, basierend auf der Erfolgswahrscheinlichkeit in einem bestimmten Versuch und der Gesamtzahl der Versuche.
Über den Autor
Dr. Benjamin Anderson
Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen