So ermitteln sie die wahrscheinlichkeit von a oder b: anhand von beispielen

Bei zwei Ereignissen, A und B, bedeutet „Bestimmen der Wahrscheinlichkeit von A oder B“, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass Ereignis A oder Ereignis B eintritt .

Wir schreiben diese Wahrscheinlichkeit im Allgemeinen auf zwei Arten:

• P(A oder B) – Schriftliche Form
• P(A∪B) – Formnotation

Wie wir diese Wahrscheinlichkeit berechnen, hängt davon ab, ob sich die Ereignisse A und B gegenseitig ausschließen oder nicht. Zwei Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, wenn sie nicht gleichzeitig auftreten können.

Wenn sich A und B gegenseitig ausschließen , lautet die Formel, die wir zur Berechnung von P(A∪B) verwenden:

 Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B)

Wenn sich A und B nicht gegenseitig ausschließen , lautet die Formel, die wir zur Berechnung von P(A∪B) verwenden:

 Not Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Beachten Sie, dass P(A∩B) die Wahrscheinlichkeit ist, dass sowohl Ereignis A als auch Ereignis B eintreten.

Die folgenden Beispiele zeigen, wie diese Formeln in der Praxis angewendet werden können.

Beispiele: P(A∪B) für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse

Beispiel 1: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Würfel zu würfeln und eine 2 oder eine 5 zu bekommen?

Lösung: Wenn wir Ereignis A als Würfeln einer 2 und Ereignis B als Würfeln einer 5 definieren, schließen sich diese beiden Ereignisse gegenseitig aus, da wir nicht gleichzeitig eine 2 und eine 5 würfeln können. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine 2 oder eine 5 bekommen, errechnet sich also wie folgt:

P(A∪B) = (1/6) + (1/6) = 2/6 = 1/3.

Beispiel 2: Angenommen, eine Urne enthält 3 rote Kugeln, 2 grüne Kugeln und 5 gelbe Kugeln. Wenn wir zufällig einen Ball auswählen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten oder grünen Ball auszuwählen?

Lösung: Wenn wir Ereignis A als Auswahl eines roten Balls und Ereignis B als Auswahl eines grünen Balls definieren, schließen sich diese beiden Ereignisse gegenseitig aus, da wir nicht jeweils einen roten und einen grünen Ball auswählen können. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir einen roten oder grünen Ball auswählen, berechnet sich also wie folgt:

P(A∪B) = (3/10) + (2/10) = 5/10 = 1/2.

Beispiele: P(A ∪ B) für sich nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse

Die folgenden Beispiele zeigen, wie P(A∪B) berechnet wird, wenn A und B keine sich gegenseitig ausschließenden Ereignisse sind.

Beispiel 1: Wenn wir zufällig eine Karte aus einem Standardkartenspiel mit 52 Karten auswählen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir uns entweder für Pik oder Dame entscheiden?

Lösung: In diesem Beispiel ist es möglich, eine Karte zu wählen, die sowohl ein Pik als auch eine Dame ist, sodass sich diese beiden Ereignisse nicht gegenseitig ausschließen.

Wenn wir Ereignis A das Ereignis der Wahl eines Spatens und Ereignis B das Ereignis der Wahl einer Königin annehmen, dann haben wir die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

• P(A) = 13/52
• P(B) = 4/52
• P(A∩B) = 1/52

Die Wahrscheinlichkeit, sich für Pik oder Dame zu entscheiden, wird also wie folgt berechnet:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (13/52) + (4/52) – (1/52) = 16/52 = 4/13.

Beispiel 2: Wenn wir einen Würfel würfeln, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auf eine Zahl größer als 3 oder eine gerade Zahl fällt?

Lösung: In diesem Beispiel ist es möglich, dass die Würfel auf einer Zahl landen, die sowohl größer als 3 als auch gerade ist, sodass sich diese beiden Ereignisse nicht gegenseitig ausschließen.

Wenn wir Ereignis A das Ereignis einer Zahl größer als 3 und Ereignis B das Ereignis einer geraden Zahl annehmen, dann haben wir folgende Wahrscheinlichkeiten:

• P(A) = 3/6
• P(B) = 3/6
• P(A∩B) = 2/6

Somit wird die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel auf eine Zahl größer als 3 oder eine gerade Zahl fällt, wie folgt berechnet:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (3/6) + (3/6) – (2/6) = 4/6 = 2/3.