So ermitteln sie die wahrscheinlichkeit von a und b: mit beispielen

Bei zwei Ereignissen, A und B, bedeutet „Ermitteln der Wahrscheinlichkeit von A und B“ das Ermitteln der Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A und Ereignis B beide eintreten .

Wir schreiben diese Wahrscheinlichkeit im Allgemeinen auf zwei Arten:

• P(A und B) – Schriftliche Form
• P(A∩B) – Formularnotation

Wie wir diese Wahrscheinlichkeit berechnen, hängt davon ab, ob die Ereignisse A und B unabhängig oder abhängig sind.

Wenn A und B unabhängig sind, lautet die Formel, die wir zur Berechnung von P(A∩B) verwenden, einfach:

 Independent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B)

Wenn A und B abhängig sind, lautet die Formel, die wir zur Berechnung von P(A∩B) verwenden:

 Dependent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

Beachten Sie, dass P(B|A) die gegebene bedingte Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von Ereignis B ist   Ereignis A tritt ein.

Die folgenden Beispiele zeigen, wie diese Formeln in der Praxis angewendet werden können.

Beispiele für P(A∩B) für unabhängige Ereignisse

Die folgenden Beispiele zeigen, wie P(A∩B) berechnet wird, wenn A und B unabhängige Ereignisse sind.

Beispiel 1: Die Wahrscheinlichkeit, dass Ihr Lieblings-Baseballteam die World Series gewinnt, beträgt 1/30 und die Wahrscheinlichkeit, dass Ihr Lieblings-Footballteam den Super Bowl gewinnt, beträgt 1/32. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ihre beiden Lieblingsmannschaften ihre jeweiligen Meisterschaften gewinnen?

Lösung: In diesem Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis eintritt, unabhängig vom anderen. Die Wahrscheinlichkeit, dass beides auftritt, wird also wie folgt berechnet:

P(A∩B) = (1/30) * (1/32) = 1/960 = .00104.

Beispiel 2: Sie würfeln und werfen gleichzeitig eine Münze. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel auf der Zahl 4 und die Münze auf der Zahl Zahl landet?

Lösung: In diesem Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis eintritt, unabhängig vom anderen. Die Wahrscheinlichkeit, dass beides auftritt, wird also wie folgt berechnet:

P(A∩B) = (1/6) * (1/2) = 1/12 = 0,083333.

Beispiele für P(A∩B) für abhängige Ereignisse

Die folgenden Beispiele zeigen, wie P(A∩B) berechnet wird, wenn A und B abhängige Ereignisse sind.

Beispiel 1: Eine Urne enthält 4 rote Kugeln und 4 grüne Kugeln. Sie wählen zufällig eine Kugel aus der Urne aus. Anschließend wählt man ersatzlos einen anderen Ball aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie jedes Mal eine rote Kugel wählen?

Lösung: In diesem Beispiel beeinflusst die Farbe des Balls, den Sie beim ersten Mal wählen, die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Mal einen roten Ball zu wählen. Die beiden Ereignisse sind daher abhängig.

Definieren wir Ereignis A als die Wahrscheinlichkeit, zum ersten Mal einen roten Ball auszuwählen. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt P(A) = 4/8. Als nächstes müssen wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln, erneut einen roten Ball auszuwählen, vorausgesetzt , der erste Ball war rot. In diesem Fall sind nur noch 3 rote Kugeln zur Auswahl und insgesamt nur noch 7 Kugeln in der Urne. Somit beträgt P(B|A) 3/7.

Die Wahrscheinlichkeit, dass wir jedes Mal eine rote Kugel auswählen, würde sich also wie folgt berechnen:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (4/8) * (3/7) = 0,214.

Beispiel 2: In einer bestimmten Klasse gibt es 15 Jungen und 12 Mädchen. Angenommen, wir stecken die Namen aller Schüler in eine Tasche. Wir wählen zufällig einen Namen aus der Tüte aus. Dann wählen wir ersatzlos einen anderen Namen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei beiden Namen um Jungen handelt?

Lösung: In diesem Beispiel beeinflusst der Vorname, den wir beim ersten Mal wählen, die Wahrscheinlichkeit, bei der zweiten Ziehung den Vornamen eines Jungen zu wählen. Die beiden Ereignisse sind daher abhängig.

Definieren wir Ereignis A als die Wahrscheinlichkeit, zum ersten Mal einen Jungen auszuwählen. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt P(A) = 15/27. Als nächstes müssen wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln, erneut einen Jungen auszuwählen, vorausgesetzt , der Vorname war ein Junge. In diesem Fall stehen nur noch 14 Jungen zur Auswahl und insgesamt sind nur noch 26 Namen in der Tasche. Somit beträgt P(B|A) 14/26.

Die Wahrscheinlichkeit, dass wir jedes Mal den Namen eines Jungen auswählen, würde sich also wie folgt berechnen:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (15/27) * (14/26) = 0,299.