So ermitteln sie die erfolgswahrscheinlichkeit „mindestens drei“.

Wir können die folgende allgemeine Formel verwenden, um die Wahrscheinlichkeit von mindestens drei Erfolgen in einer Reihe von Versuchen zu ermitteln:

 P(at least 3) = 1 - P(0 successes) - P(1 success) - P(2 successes)

In der obigen Formel können wir jede Wahrscheinlichkeit mithilfe der folgenden Formel für die Binomialverteilung berechnen:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Gold:

• n: Anzahl der Versuche
• k: Anzahl der Erfolge
• p: Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem bestimmten Versuch
• _n C _k : die Anzahl der Möglichkeiten, in n Versuchen k Erfolge zu erzielen

Die folgenden Beispiele zeigen, wie Sie mit dieser Formel die Wahrscheinlichkeit von „mindestens drei“ Erfolgen in verschiedenen Szenarien ermitteln.

Beispiel 1: Freiwurfversuche

Ty macht 25 % seiner Freiwurfversuche. Wenn er fünf Freiwürfe versucht, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens drei Freiwürfe macht.

Berechnen wir zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass er genau null, genau einen oder genau zwei Freiwürfe macht:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,25 ⁰ * (1-0,25) ^5-0 = 1 * 1 * 0,75 ⁵ = 0,2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,25 ¹ * (1-0,25) ^5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 ⁴ = 0,3955

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0,25 ² * (1-0,25) ^5-2 = 10 * 0,0625 * 0,75 ³ = 0,2636

Als nächstes setzen wir diese Werte in die folgende Formel ein, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass Ty mindestens drei Freiwürfe macht:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,2373 – 0,3955 – 0,2636
• P(X≥3) = 0,1036

Die Wahrscheinlichkeit, dass Ty in fünf Versuchen mindestens drei Freiwürfe macht, beträgt 0,1036 .

Beispiel 2: Widgets

In einer bestimmten Fabrik sind 2 % aller Widgets defekt. Bestimmen Sie in einer Zufallsstichprobe von 10 Widgets die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei defekt sind.

Berechnen wir zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass genau null, genau eins oder genau zwei defekt sind:

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0,02 ⁰ * (1-0,02) ^10-0 = 1 * 1 * 0,98 ¹⁰ = 0,8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0,02 ¹ * (1-0,02) ^10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 ⁹ = 0,1667

P(X=2) = ₁₀ C ₂ * 0,02 ² * (1-0,02) ^10-2 = 45 * 0,0004 * 0,98 ⁸ = 0,0153

Als nächstes setzen wir diese Werte in die folgende Formel ein, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass mindestens drei Widgets fehlerhaft sind:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,8171 – 0,1667 – 0,0153
• P(X≥3) = 0,0009

Die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Zufallsstichprobe von 10 mindestens drei Widgets defekt sind, beträgt 0,0009 .

Beispiel 3: Trivia-Fragen

Bob beantwortet 60 % der Quizfragen richtig. Wenn wir ihm fünf Quizfragen stellen, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens drei richtig beantwortet.

Berechnen wir zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass er genau null, genau eins oder genau zwei richtig antwortet:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,60 ⁰ * (1-0,60) ^5-0 = 1 * 1 * 0,40 ⁵ = 0,01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,60 ¹ * (1-0,60) ^5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 ⁴ = 0,0768

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0,60 ² * (1-0,60) ^5-2 = 10 * 0,36 * 0,40 ³ = 0,2304

Als nächstes setzen wir diese Werte in die folgende Formel ein, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass er mindestens drei Fragen richtig beantwortet:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,01024 – 0,0768 – 0,2304
• P(X≥3) = 0,6826

Die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens drei von fünf Fragen richtig beantwortet, beträgt 0,6826 .

Bonus: Wahrscheinlichkeit von mindestens drei Rechnern

Verwenden Sie diesen Rechner, um automatisch die Wahrscheinlichkeit von „mindestens drei“ Erfolgen zu ermitteln, basierend auf der Erfolgswahrscheinlichkeit in einem bestimmten Versuch und der Gesamtzahl der Versuche.