So ermitteln sie die erfolgswahrscheinlichkeit „mindestens zwei“.

Wir können die folgende allgemeine Formel verwenden, um die Wahrscheinlichkeit von mindestens zwei Erfolgen in einer Reihe von Versuchen zu ermitteln:

 P(at least two successes) = 1 - P(zero successes) - P(one success)

In der obigen Formel können wir jede Wahrscheinlichkeit mithilfe der folgenden Formel für die Binomialverteilung berechnen:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Gold:

• n: Anzahl der Versuche
• k: Anzahl der Erfolge
• p: Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem bestimmten Versuch
• _n C _k : die Anzahl der Möglichkeiten, in n Versuchen k Erfolge zu erzielen

Die folgenden Beispiele zeigen, wie Sie mit dieser Formel die Wahrscheinlichkeit von „mindestens zwei“ Erfolgen in verschiedenen Szenarien ermitteln.

Beispiel 1: Freiwurfversuche

Ty macht 25 % seiner Freiwurfversuche. Wenn er fünf Freiwürfe versucht, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens zwei Freiwürfe macht.

Berechnen wir zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass er genau null Freiwürfe oder genau einen Freiwurf macht:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,25 ⁰ * (1-0,25) ^5-0 = 1 * 1 * 0,75 ⁵ = 0,2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,25 ¹ * (1-0,25) ^5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 ⁴ = 0,3955

Als nächstes setzen wir diese Werte in die folgende Formel ein, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass Ty mindestens zwei Freiwürfe macht:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,2372 – 0,3955
• P(X≥2) = 0,3673

Die Wahrscheinlichkeit, dass Ty in fünf Versuchen mindestens zwei Freiwürfe macht, beträgt 0,3673 .

Beispiel 2: Widgets

In einer bestimmten Fabrik sind 2 % aller Widgets defekt. Bestimmen Sie in einer Zufallsstichprobe von 10 Widgets die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei defekt sind.

Berechnen wir zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass genau null oder genau eins defekt ist:

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0,02 ⁰ * (1-0,02) ^10-0 = 1 * 1 * 0,98 ¹⁰ = 0,8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0,02 ¹ * (1-0,02) ^10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 ⁹ = 0,1667

Als nächstes fügen wir diese Werte in die folgende Formel ein, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass mindestens zwei Widgets fehlerhaft sind:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,8171 – 0,1667
• P(X≥2) = 0,0162

Die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Zufallsstichprobe von 10 mindestens zwei Widgets defekt sind, beträgt 0,0162 .

Beispiel 3: Trivia-Fragen

Bob beantwortet 60 % der Quizfragen richtig. Wenn wir ihm fünf Quizfragen stellen, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens zwei richtig beantwortet.

Berechnen wir zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass es genau Null oder genau Eins antwortet:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,60 ⁰ * (1-0,60) ^5-0 = 1 * 1 * 0,40 ⁵ = 0,01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,60 ¹ * (1-0,60) ^5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 ⁴ = 0,0768

Als nächstes setzen wir diese Werte in die folgende Formel ein, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass er mindestens zwei Fragen richtig beantwortet:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,01024 – 0,0768
• P(X≥2) = 0,91296

Die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens zwei von fünf Fragen richtig beantwortet, beträgt 0,91296 .

Bonus: Wahrscheinlichkeitsrechner von „mindestens zwei“

Verwenden Sie diesen Rechner, um automatisch die Wahrscheinlichkeit von „mindestens zwei“ Erfolgen zu ermitteln, basierend auf der Erfolgswahrscheinlichkeit in einem bestimmten Versuch und der Gesamtzahl der Versuche.