Wahrscheinlichkeitseigenschaften

Von Dr. Benjamin Anderson August 1, 2023 Wahrscheinlichkeit Keine Kommentare

In diesem Artikel erklären wir, was Wahrscheinlichkeitseigenschaften sind. Darüber hinaus können Sie sich für jede Wahrscheinlichkeitseigenschaft ein konkretes Beispiel ansehen.

Was sind die Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit?

Die Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit sind:

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses entspricht eins minus der Wahrscheinlichkeit des entgegengesetzten Ereignisses.
Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist immer Null.
Wenn ein Ereignis in einem anderen Ereignis enthalten ist, muss die Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses kleiner oder gleich der Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses sein.
Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis separat auftritt, minus der Wahrscheinlichkeit ihres Schnittpunkts.
Bei einer Menge von zwei mal zwei inkompatiblen Ereignissen wird ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeit berechnet, indem die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes Ereignisses addiert wird.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse in einem Stichprobenraum ist gleich 1.

Dies ist lediglich eine Zusammenfassung der grundlegenden Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit. Nachfolgend finden Sie eine detailliertere Erklärung und Beispiele aus der Praxis für jede Immobilie.

Eigentum 1

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses entspricht eins minus der Wahrscheinlichkeit des entgegengesetzten Ereignisses. Daher ist die Summe der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses plus der Wahrscheinlichkeit seines Gegenereignisses gleich 1.

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 5 zu würfeln, 0,167, da wir die Wahrscheinlichkeit, jede andere Zahl zu würfeln, mithilfe dieser Wahrscheinlichkeitseigenschaft bestimmen können:

$P(5)=0,167$

$P(1, 2, 3, 4, 6)=1-P(5)=1-0,167=0,833$

Eigentum 2

Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist 0. Wenn ein bestimmtes Ergebnis eines Zufallsexperiments nicht eintreten kann, ist seine Eintrittswahrscheinlichkeit logischerweise Null.

$P(\varnothing)=0$

Beispielsweise können wir das Ergebnis der Zahl 7 nicht durch Würfeln mit einem einzelnen Würfel ermitteln, daher ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses Null.

$P(7)=0$

Eigentum 3

Wenn ein Ereignis in einem anderen Ereignis enthalten ist, muss die Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses kleiner oder gleich der Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses sein.

Wenn ein Ereignis in einer Menge von Ereignissen enthalten ist, kann die Eintrittswahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses natürlich nicht größer sein als die der gesamten Menge.

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 4 zu würfeln, 0,167. Andererseits beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl (2, 4, 6) zu erhalten, 0,50. Damit ist diese Eigenschaft der Wahrscheinlichkeitstheorie erfüllt.

$P(4)=0,167$

$\begin{aligned}P(\text{n\'umero par})&=P(2)+P(4)+P(6)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=0,5\end{aligned}$

$P(4) <h3 class="wp-block-heading"><span class="ez-toc-section" id="propiedad-4"></span> Propriété 4<span class="ez-toc-section-end"></span></h3> <p> La probabilité d’union de deux événements est égale à la somme de la probabilité que chaque événement se produise séparément moins la probabilité de leur intersection. En théorie des probabilités, cette propriété est connue sous le nom de règle de somme et sa formule est la suivante :[latex]P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“107″ width=“2040″ style=“vertical-align: -5px;“></p> </p> <p> Konkrete Anwendungsbeispiele dieser Eigenschaft finden Sie hier: </p> <div style=$ ➤ Siehe: Gelöstes Beispiel der Additionsregel

Eigentum 5

Bei einer Menge von zwei mal zwei inkompatiblen Ereignissen kann ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeit berechnet werden, indem die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes Ereignisses addiert wird.

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

Beispielsweise sind die unterschiedlichen Ergebnisse beim Würfeln inkompatible Ereignisse, denn wenn man eine Zahl würfelt, kann man keine andere erhalten. Um also die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, eine ungerade Zahl zu erhalten, können wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens verschiedener ungerader Zahlen addieren:

$\begin{aligned}P(\text{n\'umero impar})&=P(1\cup3\cup5)\\[2ex]&=P(1)+P(3)+P(5)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=0,5\end{aligned}$

Eigentum 6

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse in einem Stichprobenraum ist gleich 1.

Offensichtlich muss ein Zufallsexperiment zu einem Elementarereignis im Probenraum führen, sodass ein Elementarereignis im Probenraum immer auftritt und daher die Gesamtwahrscheinlichkeit des Auftretens im Probenraum 100 % betragen muss.

$\Omega=\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$

$P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)=1$

Der Beispielraum für das Würfeln ist beispielsweise Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, sodass die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse äquivalent zu 1 ist:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

$\begin{aligned}P(\Omega)&=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=1\end{aligned}$

Axiome der Wahrscheinlichkeit

Zusätzlich zu den Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit, die wir gerade gesehen haben, müssen wir bedenken, dass es auch die Axiome der Wahrscheinlichkeit gibt, bei denen es sich um die Hauptregeln handelt, die die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen definieren.

Die Wahrscheinlichkeitsaxiome lauten also wie folgt:

Wahrscheinlichkeitsaxiom 1 : Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann nicht negativ sein.
Wahrscheinlichkeitsaxiom 2 : Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses ist 1.
Wahrscheinlichkeitsaxiom 3 : Die Wahrscheinlichkeit einer Reihe exklusiver Ereignisse ist gleich der Summe aller Wahrscheinlichkeiten.

Mehr über die Wahrscheinlichkeitsaxiome und Beispiele für ihre Anwendung erfahren Sie hier:

➤ Siehe: Axiome der Wahrscheinlichkeit

Über den Autor

Dr. Benjamin Anderson

Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen