Wahrscheinlichkeitstheorie

In diesem Artikel wird erklärt, was Wahrscheinlichkeitstheorie ist und wofür sie verwendet wird. So finden Sie die Grundkonzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie sowie die Eigenschaften und Gesetze der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Was ist Wahrscheinlichkeitstheorie?

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine Reihe von Regeln und Eigenschaften, die zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Zufallsphänomens verwendet werden. Somit ermöglicht uns die Wahrscheinlichkeitstheorie zu wissen, welches Ergebnis eines Zufallsexperiments am wahrscheinlichsten eintritt.

Bedenken Sie, dass ein Zufallsphänomen ein Ergebnis eines Experiments ist, dessen Ausgang nicht vorhergesagt werden kann, sondern vom Zufall abhängt. Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist daher eine Reihe von Gesetzen, die es uns ermöglichen, die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines zufälligen Phänomens zu bestimmen.

Wenn wir beispielsweise eine Münze werfen, können wir zwei mögliche Ergebnisse erhalten: Kopf oder Zahl. Nun, wir können die Wahrscheinlichkeitstheorie verwenden, um die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu bekommen, zu berechnen, die in diesem Fall 50 % beträgt.

Im Laufe der Geschichte haben viele Menschen zur Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie beigetragen, unter ihnen Cardano, Laplace, Gauß und Kolmogorov.

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie

Probenraum

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Stichprobenraum die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.

Das Symbol für den Probenraum ist der griechische Großbuchstabe Omega (Ω), kann aber auch durch den Großbuchstaben E dargestellt werden.

Der Beispielraum für das Würfeln ist beispielsweise:

Ereignis

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Ereignis (oder Ereignis) jedes mögliche Ergebnis eines Zufallsexperiments. Daher ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ein Wert, der die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ergebnisses angibt.

Beispielsweise gibt es bei einem Münzwurf zwei Ereignisse: „Kopf“ und „Zahl“.

Es gibt verschiedene Arten von Veranstaltungen:

• Elementarereignis (oder einfaches Ereignis): jedes der möglichen Ergebnisse des Experiments.
• Zusammengesetztes Ereignis: Dies ist eine Teilmenge des Beispielraums.
• Bestimmtes Ereignis: Dies ist das Ergebnis einer zufälligen Erfahrung, die immer eintreten wird.
• Unmögliches Ereignis: Dies ist das Ergebnis eines Zufallsexperiments, das niemals stattfinden wird.
• Kompatible Ereignisse: Zwei Ereignisse sind kompatibel, wenn sie ein gemeinsames Elementarereignis haben.
• Inkompatible Ereignisse: Zwei Ereignisse sind inkompatibel, wenn sie kein gemeinsames Elementarereignis haben.
• Unabhängige Ereignisse: Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des anderen hat.
• Abhängige Ereignisse: Zwei Ereignisse sind abhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen ändert.
• Ereignis, das einem anderen widerspricht: das Ereignis, das eintritt, wenn das andere Ereignis nicht eintritt.

Axiome der Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeitsaxiome sind:

1. Wahrscheinlichkeitsaxiom 1 : Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann nicht negativ sein.



2. Wahrscheinlichkeitsaxiom 2 : Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses ist 1.



3. Wahrscheinlichkeitsaxiom 3 : Die Wahrscheinlichkeit einer Menge inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe aller Wahrscheinlichkeiten.

Wahrscheinlichkeitseigenschaften

Die Wahrscheinlichkeitseigenschaften sind:

1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses entspricht eins minus der Wahrscheinlichkeit des entgegengesetzten Ereignisses.



2. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist immer Null.



3. Wenn ein Ereignis in einem anderen Ereignis enthalten ist, muss die Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses kleiner oder gleich der Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses sein.



4. Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis separat auftritt, minus der Wahrscheinlichkeit ihres Schnittpunkts.



5. Bei einer Menge von zwei mal zwei inkompatiblen Ereignissen wird ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeit berechnet, indem die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes Ereignisses addiert wird.



6. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse in einem Stichprobenraum ist gleich 1.

Wahrscheinlichkeitsregeln

Laplace-Regel

Die Laplace-Regel ist eine Wahrscheinlichkeitsregel, die zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses in einem Stichprobenraum verwendet wird.

Genauer gesagt besagt die Laplace-Regel, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses gleich der Anzahl günstiger Fälle dividiert durch die Gesamtzahl möglicher Fälle ist. Die Formel für die Laplace-Regel lautet daher wie folgt:

Wenn wir beispielsweise 5 grüne Bälle, 4 blaue Bälle und 2 gelbe Bälle in einen Beutel stecken, können wir mithilfe der Laplace-Regel die Wahrscheinlichkeit ermitteln, zufällig einen grünen Ball zu ziehen:

Summenregel

In der Wahrscheinlichkeitstheorie besagt die Summenregel (oder Additionsregel), dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeit ist, dass jedes Ereignis separat auftritt, minus der Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig auftreten. Zeit. .

Die Formel für die Additionsregel lautet also wie folgt:

Die gelösten Schritt-für-Schritt-Übungen zur Anwendung der Additionsregel können Sie unter folgendem Link einsehen:

Multiplikationsregel

Die Multiplikationsregel (oder Produktregel) besagt, dass die gemeinsame Wahrscheinlichkeit des Eintretens zweier unabhängiger Ereignisse gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des Eintretens jedes Ereignisses ist.

Die Formel für die Multiplikationsregel lautet daher wie folgt:

Die Formel für die Multiplikationsregel variiert jedoch je nachdem, ob die Ereignisse unabhängig oder abhängig sind. Sie können die Formel für die Multiplikationsregel für abhängige Ereignisse und Beispiele für die Anwendung dieser Regel sehen, indem Sie hier klicken: