Wahrscheinlichkeitsverteilung
In diesem Artikel wird erklärt, was Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Statistik sind. So finden Sie die Definition der Wahrscheinlichkeitsverteilung, Beispiele für Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die verschiedenen Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit des Auftretens jedes Werts einer Zufallsvariablen definiert. Einfach ausgedrückt ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung eine mathematische Funktion, die die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments beschreibt.
Lassen Sie zum Beispiel
Daher werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, da sie zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse in einem Stichprobenraum dienen.
Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen können in zwei große Typen unterteilt werden: diskrete Verteilungen und kontinuierliche Verteilungen.
- Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung: Die Verteilung kann in einem Intervall nur eine abzählbare Anzahl von Werten annehmen. Normalerweise können diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen nur ganzzahlige Werte annehmen, das heißt, sie haben keine Nachkommastellen.
- Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung: Die Verteilung kann in einem Intervall unendlich viele Werte annehmen. Im Allgemeinen können kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen Dezimalwerte annehmen.
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Verteilung, die die Wahrscheinlichkeiten einer diskreten Zufallsvariablen definiert. Daher kann eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung nur eine endliche Anzahl von Werten (normalerweise ganzzahlige Werte) annehmen.
Diskrete Gleichverteilung
Eine diskrete Gleichverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der alle Werte gleich wahrscheinlich sind, d. h. in einer diskreten Gleichverteilung haben alle Werte die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit.
Beispielsweise kann der Wurf eines Würfels mit einer diskreten Gleichverteilung definiert werden, da alle möglichen Ergebnisse (1, 2, 3, 4, 5 oder 6) die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben.
Im Allgemeinen verfügt eine diskrete Gleichverteilung über zwei charakteristische Parameter, a und b , die den Bereich möglicher Werte definieren, den die Verteilung annehmen kann. Wenn also eine Variable durch eine diskrete Gleichverteilung definiert ist, wird sie als Uniform(a,b) geschrieben.
Die diskrete Gleichverteilung kann zur Beschreibung von Zufallsexperimenten verwendet werden, denn wenn alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, bedeutet dies, dass das Experiment zufällig ist.
Bernoulli-Verteilung
Die Bernoulli-Verteilung , auch dichotome Verteilung genannt, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine diskrete Variable darstellt, die nur zwei Ergebnisse haben kann: „Erfolg“ oder „Misserfolg“.
In der Bernoulli-Verteilung ist „Erfolg“ das von uns erwartete Ergebnis und hat den Wert 1, während das Ergebnis von „Misserfolg“ ein anderes als das erwartete Ergebnis ist und den Wert 0 hat. Wenn also die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses „ „Erfolg“ ist p , die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses von „Misserfolg“ ist q=1-p .
![\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-384fd7d96d4d6584739b04a6e331b251_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Bernoulli-Verteilung ist nach dem Schweizer Statistiker Jacob Bernoulli benannt.
In der Statistik hat die Bernoulli-Verteilung hauptsächlich eine Anwendung: Sie definiert die Wahrscheinlichkeiten von Experimenten, bei denen es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt: Erfolg und Misserfolg. Daher wird ein Experiment, das die Bernoulli-Verteilung verwendet, Bernoulli-Test oder Bernoulli-Experiment genannt.
Binomialverteilung
Die Binomialverteilung , auch Binomialverteilung genannt, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Erfolge bei der Durchführung einer Reihe unabhängiger, dichotomer Experimente mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit zählt. Mit anderen Worten: Die Binomialverteilung ist eine Verteilung, die die Anzahl erfolgreicher Ergebnisse einer Folge von Bernoulli-Versuchen beschreibt.
Beispielsweise ist die Häufigkeit, mit der „Kopf“ erscheint, wenn eine Münze 25 Mal geworfen wird, eine Binomialverteilung.
Im Allgemeinen wird die Gesamtzahl der durchgeführten Experimente mit dem Parameter n definiert, während p die Erfolgswahrscheinlichkeit jedes Experiments ist. Somit wird eine Zufallsvariable, die einer Binomialverteilung folgt, wie folgt geschrieben:
Beachten Sie, dass in einer Binomialverteilung genau dasselbe Experiment n -mal wiederholt wird und die Experimente unabhängig voneinander sind, sodass die Erfolgswahrscheinlichkeit jedes Experiments gleich ist (p) .
Fischverteilung
Die Poisson-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit definiert, mit der eine bestimmte Anzahl von Ereignissen über einen bestimmten Zeitraum auftritt. Mit anderen Worten: Die Poisson-Verteilung wird zur Modellierung von Zufallsvariablen verwendet, die beschreiben, wie oft sich ein Phänomen in einem Zeitintervall wiederholt.
Beispielsweise ist die Anzahl der Anrufe, die eine Telefonzentrale pro Minute erhält, eine diskrete Zufallsvariable, die mithilfe der Poisson-Verteilung definiert werden kann.
Die Poisson-Verteilung verfügt über einen charakteristischen Parameter, der durch den griechischen Buchstaben λ dargestellt wird und angibt, wie oft das untersuchte Ereignis in einem bestimmten Intervall voraussichtlich auftritt.
Multinomialverteilung
Die Multinomialverteilung (oder Multinomialverteilung ) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass mehrere sich gegenseitig ausschließende Ereignisse nach mehreren Versuchen mit einer bestimmten Häufigkeit auftreten.
Das heißt, wenn ein Zufallsexperiment zu drei oder mehr exklusiven Ereignissen führen kann und die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis separat auftritt, bekannt ist, wird die Multinomialverteilung verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bei der Durchführung mehrerer Experimente eine bestimmte Anzahl von Ereignissen auftritt. Zeit jedes Mal.
Die Multinomialverteilung ist daher eine Verallgemeinerung der Binomialverteilung.
geometrische Verteilung
Die geometrische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Bernoulli-Versuche definiert, die erforderlich sind, um das erste erfolgreiche Ergebnis zu erhalten. Dabei handelt es sich um ein geometrisches Verteilungsmodell für Prozesse, bei denen Bernoulli-Experimente wiederholt werden, bis eines davon ein positives Ergebnis liefert.
Beispielsweise ist die Anzahl der Autos, die auf einer Autobahn vorbeifahren, bis sie ein gelbes Auto sehen, eine geometrische Verteilung.
Denken Sie daran, dass ein Bernoulli-Test ein Experiment ist, das zwei mögliche Ergebnisse hat: „Erfolg“ und „Misserfolg“. Wenn also die Wahrscheinlichkeit des „Erfolgs“ p ist, ist die Wahrscheinlichkeit des „Misserfolgs“ q=1-p .
Die geometrische Verteilung hängt daher vom Parameter p ab, der die Erfolgswahrscheinlichkeit aller durchgeführten Experimente darstellt. Darüber hinaus ist die Wahrscheinlichkeit p für alle Experimente gleich.
negative Binomialverteilung
Die negative Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Bernoulli-Versuche beschreibt, die erforderlich sind, um eine bestimmte Anzahl positiver Ergebnisse zu erhalten.
Daher weist eine negative Binomialverteilung zwei charakteristische Parameter auf: r ist die Anzahl der gewünschten erfolgreichen Ergebnisse und p ist die Erfolgswahrscheinlichkeit für jedes durchgeführte Bernoulli-Experiment.
Somit definiert eine negative Binomialverteilung einen Prozess, bei dem so viele Bernoulli-Versuche durchgeführt werden, wie nötig sind, um positive Ergebnisse zu erhalten. Darüber hinaus sind alle diese Bernoulli-Versuche unabhängig und haben eine konstante Erfolgswahrscheinlichkeit .
Beispielsweise gibt eine Zufallsvariable, die einer negativen Binomialverteilung folgt, an, wie oft ein Würfel gewürfelt werden muss, bis die Zahl 6 dreimal gewürfelt wird.
hypergeometrische Verteilung
Die hypergeometrische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl erfolgreicher Fälle bei einer zufälligen Extraktion ohne Ersetzung von n Elementen aus einer Grundgesamtheit beschreibt.
Das heißt, die hypergeometrische Verteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, x Erfolge zu erzielen, wenn n Elemente aus einer Population extrahiert werden, ohne eines davon zu ersetzen.
Daher hat die hypergeometrische Verteilung drei Parameter:
- N : ist die Anzahl der Elemente in der Population (N = 0, 1, 2,…).
- K : ist die maximale Anzahl von Erfolgsfällen (K = 0, 1, 2,…,N). Da in einer hypergeometrischen Verteilung ein Element nur als „Erfolg“ oder „Misserfolg“ betrachtet werden kann, ist NK die maximale Anzahl von Misserfolgsfällen.
- n : ist die Anzahl der durchgeführten Abrufe ohne Ersetzung.
Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Verteilung, die jeden Wert in einem Intervall annehmen kann, einschließlich Dezimalwerten. Daher definiert eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung die Wahrscheinlichkeiten einer kontinuierlichen Zufallsvariablen.
gleichmäßige und kontinuierliche Verteilung
Die kontinuierliche Gleichverteilung , auch Rechteckverteilung genannt, ist eine Art kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der alle Werte die gleiche Auftrittswahrscheinlichkeit haben. Mit anderen Worten: Die kontinuierliche Gleichverteilung ist eine Verteilung, bei der die Wahrscheinlichkeit gleichmäßig über ein Intervall verteilt ist.
Die kontinuierliche Gleichverteilung wird verwendet, um kontinuierliche Variablen mit konstanter Wahrscheinlichkeit zu beschreiben. In ähnlicher Weise wird die kontinuierliche Gleichverteilung zur Definition zufälliger Prozesse verwendet, denn wenn alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, bedeutet dies, dass das Ergebnis zufällig ist.
Die kontinuierliche Gleichverteilung weist zwei charakteristische Parameter a und b auf, die das Äquiwahrscheinlichkeitsintervall definieren. Somit ist das Symbol für die kontinuierliche Gleichverteilung U(a,b) , wobei a und b die charakteristischen Werte der Verteilung sind.
Wenn beispielsweise das Ergebnis eines Zufallsexperiments einen beliebigen Wert zwischen 5 und 9 annehmen kann und alle möglichen Ergebnisse die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben, kann das Experiment mit einer kontinuierlichen Gleichverteilung U(5,9) simuliert werden.
Normalverteilung
Die Normalverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren Diagramm glockenförmig und symmetrisch um seinen Mittelwert ist. In der Statistik wird die Normalverteilung zur Modellierung von Phänomenen mit sehr unterschiedlichen Eigenschaften verwendet, weshalb diese Verteilung so wichtig ist.
Tatsächlich gilt die Normalverteilung in der Statistik als die mit Abstand wichtigste Verteilung aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen, da sie nicht nur eine große Anzahl realer Phänomene modellieren kann, sondern die Normalverteilung auch zur Approximation anderer Arten von Phänomenen verwendet werden kann Verteilungen. unter bestimmten Bedingungen.
Das Symbol für die Normalverteilung ist der Großbuchstabe N. Um anzuzeigen, dass eine Variable einer Normalverteilung folgt, wird sie mit dem Buchstaben N gekennzeichnet und die Werte ihres arithmetischen Mittels und ihrer Standardabweichung werden in Klammern hinzugefügt.
Die Normalverteilung hat viele verschiedene Namen, einschließlich Gauß-Verteilung , Gauß-Verteilung und Laplace-Gauß-Verteilung .
Lognormalverteilung
Die Lognormalverteilung oder Lognormalverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine Zufallsvariable definiert, deren Logarithmus einer Normalverteilung folgt.
Wenn also die Variable X eine Normalverteilung hat, dann hat die Exponentialfunktion e x eine Lognormalverteilung.
Beachten Sie, dass die Lognormalverteilung nur verwendet werden kann, wenn die Werte der Variablen positiv sind, da der Logarithmus eine Funktion ist, die nur ein positives Argument akzeptiert.
Unter den verschiedenen Anwendungen der Lognormalverteilung in der Statistik unterscheiden wir die Verwendung dieser Verteilung zur Analyse von Finanzinvestitionen und zur Durchführung von Zuverlässigkeitsanalysen.
Die Lognormalverteilung wird auch als Tinaut-Verteilung bezeichnet, manchmal auch als Lognormalverteilung oder Log-Normalverteilung geschrieben.
Chi-Quadrat-Verteilung
Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren Symbol χ² ist. Genauer gesagt ist die Chi-Quadrat-Verteilung die Summe des Quadrats von k unabhängigen Zufallsvariablen mit einer Normalverteilung.
Somit hat die Chi-Quadrat-Verteilung k Freiheitsgrade. Daher hat eine Chi-Quadrat-Verteilung so viele Freiheitsgrade wie die Summe der Quadrate der normalverteilten Variablen, die sie darstellt.
![\displaystyle X\sim\chi^2_k \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \begin{array}{l}\text{Distribuci\'on chi-cuadrado}\\[2ex]\text{con k grados de libertad}\end{array}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9ea0bf7a87071883ceae5e419bae9e71_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Chi-Quadrat-Verteilung wird auch als Pearson-Verteilung bezeichnet.
Die Chi-Quadrat-Verteilung wird häufig bei statistischen Schlussfolgerungen verwendet, beispielsweise beim Testen von Hypothesen und bei Konfidenzintervallen. Wir werden unten sehen, welche Anwendungen diese Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung sind.
Studentische t-Verteilung
Die Student-t-Verteilung ist eine in der Statistik weit verbreitete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Insbesondere wird die Student-t-Verteilung im Student-t-Test verwendet, um die Differenz zwischen den Mittelwerten zweier Stichproben zu bestimmen und Konfidenzintervalle festzulegen.
Die Student-t-Verteilung wurde 1908 vom Statistiker William Sealy Gosset unter dem Pseudonym „Student“ entwickelt.
Die Student-t-Verteilung wird durch die Anzahl der Freiheitsgrade definiert, die durch Subtrahieren einer Einheit von der Gesamtzahl der Beobachtungen ermittelt wird. Daher lautet die Formel zur Bestimmung der Freiheitsgrade der Student-t-Verteilung ν=n-1 .
![\begin{array}{c}\nu=n-1\\[2ex]X\sim t_\nu\end{array}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1c805dc2d6ca050feb70dad99de53402_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Snedecor F-Verteilung
Die Snedecor-F-Verteilung , auch Fisher-Snedecor-F-Verteilung oder einfach F-Verteilung genannt, ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die bei statistischen Inferenzen, insbesondere bei der Varianzanalyse, verwendet wird.
Eine der Eigenschaften der Snedecor-F-Verteilung besteht darin, dass sie durch den Wert zweier reeller Parameter m und n definiert wird, die ihre Freiheitsgrade angeben. Daher ist das Symbol für die Snedecor-Verteilung F F m,n , wobei m und n die Parameter sind, die die Verteilung definieren.
![\left.\begin{array}{c} X\sim \chi_m^2\\[2ex] Y\sim \chi_n^2\end{array}\right\}\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ F_{m,n}= \cfrac{X/m}{Y/n}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d407869e61ca4357ffbcb40df3bd83ab_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Fisher-Snedecor-F-Verteilung verdankt ihren Namen dem englischen Statistiker Ronald Fisher und dem amerikanischen Statistiker George Snedecor.
In der Statistik hat die Fisher-Snedecor-F-Verteilung verschiedene Anwendungen. Beispielsweise wird die Fisher-Snedecor-F-Verteilung verwendet, um verschiedene lineare Regressionsmodelle zu vergleichen, und diese Wahrscheinlichkeitsverteilung wird in der Varianzanalyse (ANOVA) verwendet.
Exponentialverteilung
Die Exponentialverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die zur Modellierung der Wartezeit für das Auftreten eines Zufallsphänomens verwendet wird.
Genauer gesagt ermöglicht die Exponentialverteilung die Beschreibung der Wartezeit zwischen zwei Phänomenen, die einer Poisson-Verteilung folgt. Daher ist die Exponentialverteilung eng mit der Poisson-Verteilung verwandt.
Die Exponentialverteilung hat einen charakteristischen Parameter, der durch den griechischen Buchstaben λ dargestellt wird und angibt, wie oft das untersuchte Ereignis in einem bestimmten Zeitraum voraussichtlich auftritt.
Ebenso wird die Exponentialverteilung auch zur Modellierung der Zeit bis zum Auftreten eines Ausfalls verwendet. Die Exponentialverteilung hat daher mehrere Anwendungen in der Zuverlässigkeits- und Überlebenstheorie.
Beta-Verteilung
Die Beta-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die im Intervall (0,1) definiert und durch zwei positive Parameter parametrisiert ist: α und β. Mit anderen Worten, die Werte der Beta-Verteilung hängen von den Parametern α und β ab.
Daher wird die Betaverteilung verwendet, um kontinuierliche Zufallsvariablen zu definieren, deren Wert zwischen 0 und 1 liegt.
Es gibt mehrere Notationen, die darauf hinweisen, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable durch eine Betaverteilung bestimmt wird. Die gebräuchlichsten sind:
![\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim Beta(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim \beta_{\alpha,\beta}\end{array}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ee1d0d8a1624a017b8ef9ce8a67c694e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
In der Statistik hat die Beta-Verteilung sehr unterschiedliche Anwendungen. Beispielsweise wird die Betaverteilung verwendet, um prozentuale Schwankungen in verschiedenen Stichproben zu untersuchen. In ähnlicher Weise wird im Projektmanagement die Betaverteilung zur Durchführung einer Pert-Analyse verwendet.
Gammaverteilung
Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch zwei charakteristische Parameter, α und λ, definiert wird. Mit anderen Worten: Die Gammaverteilung hängt vom Wert ihrer beiden Parameter ab: α ist der Formparameter und λ der Skalenparameter.
Das Symbol für die Gammaverteilung ist der griechische Großbuchstabe Γ. Wenn also eine Zufallsvariable einer Gammaverteilung folgt, wird sie wie folgt geschrieben:
Die Gammaverteilung kann auch mit dem Formparameter k = α und dem inversen Skalenparameter θ = 1/λ parametrisiert werden. In allen Fällen sind die beiden Parameter, die die Gammaverteilung definieren, positive reelle Zahlen.
Typischerweise wird die Gammaverteilung zur Modellierung rechtsschiefer Datensätze verwendet, sodass auf der linken Seite des Diagramms eine größere Datenkonzentration vorliegt. Beispielsweise wird die Gammaverteilung zur Modellierung der Zuverlässigkeit elektrischer Komponenten verwendet.
Weibull-Verteilung
Die Weibull-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch zwei charakteristische Parameter definiert wird: den Formparameter α und den Skalenparameter λ.
In der Statistik wird die Weibull-Verteilung hauptsächlich zur Überlebensanalyse verwendet. Ebenso hat die Weibull-Verteilung viele Anwendungen in verschiedenen Bereichen.
Den Autoren zufolge lässt sich die Weibull-Verteilung auch mit drei Parametern parametrisieren. Dann wird ein dritter Parameter namens Schwellenwert hinzugefügt, der die Abszisse angibt, bei der das Verteilungsdiagramm beginnt.
Die Weibull-Verteilung ist nach dem Schweden Waloddi Weibull benannt, der sie 1951 ausführlich beschrieb. Allerdings wurde die Weibull-Verteilung 1927 von Maurice Fréchet entdeckt und erstmals 1933 von Rosin und Rammler angewendet.
Pareto-Verteilung
Die Pareto-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der Statistik zur Modellierung des Pareto-Prinzips verwendet wird. Daher ist die Pareto-Verteilung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die einige wenige Werte aufweist, deren Eintrittswahrscheinlichkeit viel höher ist als die der übrigen Werte.
Denken Sie daran, dass das Pareto-Gesetz, auch 80-20-Regel genannt, ein statistisches Prinzip ist, das besagt, dass die Ursache eines Phänomens größtenteils auf einen kleinen Teil der Bevölkerung zurückzuführen ist.
Die Pareto-Verteilung hat zwei charakteristische Parameter: den Skalenparameter x m und den Formparameter α.
Ursprünglich wurde die Pareto-Verteilung verwendet, um die Vermögensverteilung innerhalb der Bevölkerung zu beschreiben, da der Großteil davon auf einen kleinen Teil der Bevölkerung zurückzuführen war. Doch derzeit hat die Pareto-Verteilung viele Anwendungen, beispielsweise in der Qualitätskontrolle, in der Wirtschaft, in der Wissenschaft, im sozialen Bereich usw.
Über den Autor
Dr. Benjamin Anderson
Hallo, ich bin Benjamin, ein pensionierter Statistikprofessor, der sich zum engagierten Statorials-Lehrer entwickelt hat. Mit umfassender Erfahrung und Fachwissen auf dem Gebiet der Statistik bin ich bestrebt, mein Wissen zu teilen, um Studenten durch Statorials zu befähigen. Mehr wissen