{"id":1212,"date":"2023-07-27T06:38:25","date_gmt":"2023-07-27T06:38:25","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/multivariate-adaptive-regressionssplines\/"},"modified":"2023-07-27T06:38:25","modified_gmt":"2023-07-27T06:38:25","slug":"multivariate-adaptive-regressionssplines","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/multivariate-adaptive-regressionssplines\/","title":{"rendered":"Eine einf\u00fchrung in multivariate adaptive regressionssplines"},"content":{"rendered":"

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Wenn die Beziehung zwischen einer Reihe von Pr\u00e4diktorvariablen und einer Antwortvariablen<\/a> linear ist, k\u00f6nnen wir h\u00e4ufig die lineare Regression<\/a> verwenden, die<\/span> davon ausgeht, dass die Beziehung zwischen einer bestimmten Pr\u00e4diktorvariablen und einer Antwortvariablen die Form annimmt:<\/span><\/p>\n

Y = \u03b2 0<\/sub> + \u03b2 1<\/sub> X + \u03b5<\/span><\/p>\n

In der Praxis kann die Beziehung zwischen Variablen jedoch tats\u00e4chlich nichtlinear sein, und der Versuch, eine lineare Regression zu verwenden, kann zu einem schlecht passenden Modell f\u00fchren.<\/span><\/p>\n

Eine M\u00f6glichkeit, eine nichtlineare Beziehung zwischen dem Pr\u00e4diktor und der Antwortvariablen zu ber\u00fccksichtigen, ist die Verwendung einer polynomialen Regression<\/a> , die folgende Form annimmt:<\/span><\/p>\n

Y = \u03b2 0<\/sub> +<\/sup> \u03b2 1<\/sub> X + \u03b2 2<\/sub> X 2<\/sup> + \u2026 + \u03b2 h<\/sub><\/span><\/p>\n

In dieser Gleichung wird h<\/em> als \u201eGrad\u201c des Polynoms bezeichnet. Wenn wir den Wert von h<\/em> erh\u00f6hen, wird das Modell flexibler und kann sich an nichtlineare Daten anpassen.<\/span><\/p>\n

Die polynomielle Regression hat jedoch einige Nachteile:<\/span><\/span><\/p>\n

1.<\/strong> Bei der polynomialen Regression kann es leicht zu einer \u00dcberanpassung<\/a> eines Datensatzes kommen, wenn der Grad h<\/em> zu gro\u00df gew\u00e4hlt wird. In der Praxis ist h<\/em> selten gr\u00f6\u00dfer als 3 oder 4, da es jenseits dieses Punktes einfach dem Rauschen eines Trainingssatzes entspricht und sich nicht gut auf unsichtbare Daten verallgemeinern l\u00e4sst.<\/span><\/p>\n

2.<\/b> Die polynomielle Regression erlegt dem gesamten Datensatz eine globale Funktion auf, die nicht immer pr\u00e4zise ist.<\/span><\/p>\n

Eine Alternative zur polynomialen Regression sind multivariate adaptive Regressionssplines<\/strong> .<\/span><\/p>\n

Die Grundidee<\/strong><\/span><\/h3>\n

Multivariate adaptive Regressions-Splines funktionieren wie folgt:<\/span><\/p>\n

1. Teilen Sie einen Datensatz in k<\/em> Teile.<\/strong><\/span><\/p>\n

Zun\u00e4chst teilen wir einen Datensatz in k<\/em> verschiedene Elemente auf. Die Punkte, an denen wir den Datensatz teilen, werden Knoten<\/em> genannt.<\/span><\/p>\n

Wir identifizieren Knoten, indem wir jeden Punkt f\u00fcr jeden Pr\u00e4diktor als potenziellen Knoten bewerten und unter Verwendung der Kandidatenmerkmale ein lineares Regressionsmodell erstellen. Der Punkt, der die meisten Fehler im Modell reduzieren kann, ist der Knoten.<\/span><\/p>\n

Sobald wir den ersten Knoten identifiziert haben, wiederholen wir den Vorgang, um weitere Knoten zu finden. Sie k\u00f6nnen so viele Knoten finden, wie Sie zun\u00e4chst f\u00fcr sinnvoll halten.<\/span><\/p>\n

2. Passen Sie an jedes Teil eine Regressionsfunktion an, um eine Scharnierfunktion zu bilden.<\/strong><\/span><\/p>\n

Sobald wir die Knoten ausgew\u00e4hlt und ein Regressionsmodell an jedes Element im Datensatz angepasst haben, erhalten wir eine sogenannte Scharnierfunktion<\/em> , die mit h(xa)<\/em> bezeichnet wird, wobei a<\/em> der Schwellenwert f\u00fcr den Wert bzw. die Werte ist.<\/span><\/p>\n

Die Scharnierfunktion f\u00fcr ein Ein-Knoten-Modell k\u00f6nnte beispielsweise wie folgt aussehen:<\/span><\/p>\n