{"id":1229,"date":"2023-07-27T05:09:32","date_gmt":"2023-07-27T05:09:32","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/normalverteilung-vs-t-verteilung\/"},"modified":"2023-07-27T05:09:32","modified_gmt":"2023-07-27T05:09:32","slug":"normalverteilung-vs-t-verteilung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/normalverteilung-vs-t-verteilung\/","title":{"rendered":"Normalverteilung und t-verteilung: was ist der unterschied?"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Die<a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/die-normalverteilung\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Normalverteilung<\/a> ist die in allen Statistiken am h\u00e4ufigsten verwendete Verteilung und bekannterma\u00dfen symmetrisch und glockenf\u00f6rmig.<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-12187 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/norm_vs_t1.png\" alt=\"\" width=\"431\" height=\"394\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Eine eng verwandte Verteilung ist die <strong>t-Verteilung<\/strong> , die ebenfalls symmetrisch und glockenf\u00f6rmig ist, aber schwerere \u201eSchw\u00e4nze\u201c als die Normalverteilung aufweist.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Mit anderen Worten: Im Vergleich zur Normalverteilung befinden sich in der Verteilung mehr Werte an den Enden als in der Mitte:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-12188 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/norm_vs_t2.png\" alt=\"Normalverteilung vs. t-Verteilung\" width=\"444\" height=\"408\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Im statistischen Fachjargon verwenden wir eine Metrik namens <strong>Kurtosis<\/strong> , um zu messen, wie \u201eschwer\u201c eine Verteilung ist. Wir w\u00fcrden also sagen, dass die Kurtosis einer t-Verteilung gr\u00f6\u00dfer ist als die einer Normalverteilung.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In der Praxis verwenden wir am h\u00e4ufigsten die t-Verteilung, wenn wir <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/hypothesentest-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Hypothesentests<\/a> durchf\u00fchren oder<a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/vertrauensintervalle\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Konfidenzintervalle erstellen<\/a> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Formel zur Berechnung eines Konfidenzintervalls f\u00fcr einen Grundgesamtheitsmittelwert lautet beispielsweise:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Konfidenzintervall =<\/strong> <strong><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> +\/- t <sub>1-\u03b1\/2, n-1<\/sub> *(s\/\u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">n<\/span> )<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gold:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> :<\/strong> Stichprobenmittelwert<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>t:<\/strong> der kritische t-Wert, basierend auf dem Signifikanzniveau <em>\u03b1<\/em> und der Stichprobengr\u00f6\u00dfe <em>n<\/em><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>s:<\/strong> Stichprobenstandardabweichung<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>n:<\/strong> Stichprobengr\u00f6\u00dfe<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In dieser Formel verwenden wir den kritischen Wert von Tabelle t anstelle des kritischen Werts von Tabelle z, wenn eine der folgenden Bedingungen zutrifft:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Wir kennen die Populationsstandardabweichung nicht.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Die Stichprobengr\u00f6\u00dfe ist kleiner oder gleich 30.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Das folgende Flussdiagramm bietet eine n\u00fctzliche M\u00f6glichkeit herauszufinden, ob Sie den kritischen Wert aus Tabelle t oder Tabelle z verwenden sollten:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-4849 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/z_table_vs_t_table.jpg\" alt=\"Tabelle Z versus Tabelle t\" width=\"432\" height=\"271\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Der Hauptunterschied zwischen der Verwendung der t-Verteilung und der Verwendung der Normalverteilung bei der Konstruktion von Konfidenzintervallen besteht darin, dass die kritischen Werte der t-Verteilung gr\u00f6\u00dfer sind, was zu <em>breiteren<\/em> Konfidenzintervallen f\u00fchrt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Angenommen, wir m\u00f6chten ein 95-%-Konfidenzintervall f\u00fcr das Durchschnittsgewicht einer Schildkr\u00f6tenpopulation erstellen, um eine Zufallsstichprobe von Schildkr\u00f6ten mit den folgenden Informationen zu sammeln:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Stichprobengr\u00f6\u00dfe <strong>n = 25<\/strong><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Durchschnittliches Probengewicht <strong>x = 300<\/strong><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Stichprobenstandardabweichung <strong>s = 18,5<\/strong><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Der kritische z-Wert f\u00fcr ein 95 %-Konfidenzintervall betr\u00e4gt <strong>1,96<\/strong> , w\u00e4hrend ein kritischer t-Wert f\u00fcr ein 95 %-Konfidenzintervall mit df = 25-1 = 24 Freiheitsgraden <strong>2,0639<\/strong> betr\u00e4gt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Somit ist ein 95 %-Konfidenzintervall f\u00fcr den Grundgesamtheitsmittelwert unter Verwendung eines z-kritischen Werts:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">95 % KI = 300 +\/- 1,96*(18,5\/\u221a <span>25<\/span> ) = <strong>[292,75, 307,25]<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">W\u00e4hrend ein 95 %-Konfidenzintervall f\u00fcr den Grundgesamtheitsmittelwert unter Verwendung eines t-kritischen Werts lautet:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">95 % KI = 300 +\/- 2,0639*(18,5\/\u221a25) = <strong>[292,36, 307,64]<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Beachten Sie, dass das Konfidenzintervall mit dem t-kritischen Wert breiter ist.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Der Grundgedanke dabei ist, dass wir bei kleinen Stichprobengr\u00f6\u00dfen weniger sicher sind, was der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit ist. Daher ist es sinnvoll, die t-Verteilung zu verwenden, um breitere Konfidenzintervalle zu erzeugen, die mit gr\u00f6\u00dferer Wahrscheinlichkeit den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit enthalten.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Visualisierung der Freiheitsgrade f\u00fcr die t-Verteilung<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Es ist zu beachten, dass sich die t-Verteilung mit zunehmenden Freiheitsgraden der Normalverteilung ann\u00e4hert.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Betrachten Sie zur Veranschaulichung die folgende Grafik, die die Form der t-Verteilung mit den folgenden Freiheitsgraden zeigt:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">df = 3<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">df = 10<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">df = 30<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-12193 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/norm_vs_t3.png\" alt=\"Normal- oder t-Verteilungsdiagramme\" width=\"470\" height=\"427\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u00dcber 30 Freiheitsgrade hinaus werden die t-Verteilung und die Normalverteilung so \u00e4hnlich, dass die Unterschiede zwischen der Verwendung eines t-kritischen Werts und eines z-kritischen Werts in den Formeln vernachl\u00e4ssigbar werden.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>DieNormalverteilung ist die in allen Statistiken am h\u00e4ufigsten verwendete Verteilung und bekannterma\u00dfen symmetrisch und glockenf\u00f6rmig. 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