{"id":1234,"date":"2023-07-27T04:44:44","date_gmt":"2023-07-27T04:44:44","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/stichprobenmittelwert-im-vergleich-zum-populationsmittelwert\/"},"modified":"2023-07-27T04:44:44","modified_gmt":"2023-07-27T04:44:44","slug":"stichprobenmittelwert-im-vergleich-zum-populationsmittelwert","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/stichprobenmittelwert-im-vergleich-zum-populationsmittelwert\/","title":{"rendered":"Stichprobenmittelwert versus populationsmittelwert: was ist der unterschied?"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">In der Statistik wollen wir oft Fragen beantworten wie:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Wie hoch ist das durchschnittliche Haushaltseinkommen in einer bestimmten Stadt?<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Was ist das durchschnittliche Gewicht einer bestimmten Schildkr\u00f6tenart?<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Wie hoch ist die durchschnittliche Besucherzahl bei College-Football-Spielen?<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In jedem Szenario m\u00f6chten wir eine Frage zu einer <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/population-vs.-stichprobe\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Population<\/a> beantworten, die alle m\u00f6glichen Einzelelemente repr\u00e4sentiert, die wir messen m\u00f6chten.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Anstatt Daten zu jedem Einzelnen in einer Population zu sammeln, sammeln wir jedoch Daten zu einer Stichprobe der Population, die einen Teil der Gesamtbev\u00f6lkerung darstellt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Beispielsweise m\u00f6chten wir m\u00f6glicherweise das Durchschnittsgewicht einer bestimmten Schildkr\u00f6tenart kennen, deren Gesamtpopulation 800 Schildkr\u00f6ten umfasst.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Da es zu lange dauern w\u00fcrde, jede Schildkr\u00f6te in der Population zu lokalisieren und zu wiegen, sammeln wir stattdessen eine einfache Zufallsstichprobe von 30 Schildkr\u00f6ten und messen ihr Gewicht:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-12211 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/pop_vs_sample2.png\" alt=\"Durchschnittliches Beispielbeispiel\" width=\"330\" height=\"443\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wir k\u00f6nnten dann das Durchschnittsgewicht dieser Schildkr\u00f6tenprobe verwenden, um das Durchschnittsgewicht aller Schildkr\u00f6ten in der Population abzusch\u00e4tzen.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>So berechnen Sie den Stichprobenmittelwert<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Formel zur Berechnung des Stichprobenmittelwerts, oft mit <span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> bezeichnet, lautet wie folgt:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> = \u03a3x <sub>i<\/sub> \/ n<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gold:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>\u03a3:<\/strong> Ein raffiniertes griechisches Symbol mit der Bedeutung \u201eSumme\u201c<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>x <sub>i<\/sub> :<\/strong> Der Wert der i-ten Beobachtung im Datensatz<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>n:<\/strong> Die Stichprobengr\u00f6\u00dfe<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Angenommen, wir sammeln eine Stichprobe von 10 Schildkr\u00f6ten mit den folgenden Gewichten (in Pfund):<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">70, 80, 80, 85, 90, 95, 110, 120, 140, 150<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Der Stichprobenmittelwert w\u00fcrde wie folgt berechnet:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span><\/strong> = (70+ 80+80+85+90+95+110+120+140+150) \/ 10 = <strong>102<\/strong><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Warum der Stichprobenmittelwert unverzerrt ist<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Im Fachjargon der Statistik w\u00fcrden wir sagen, dass der Stichprobenmittelwert eine <strong>Statistik<\/strong> ist, w\u00e4hrend der Populationsmittelwert ein <strong>Parameter<\/strong> ist.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Hier ist der Unterschied zwischen den beiden Begriffen:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Eine <strong>Statistik<\/strong> ist eine Zahl, die bestimmte Merkmale einer Stichprobe beschreibt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ein <strong>Parameter<\/strong> ist eine Zahl, die ein Merkmal einer Population beschreibt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Der Parameter ist der Wert, den wir tats\u00e4chlich messen m\u00f6chten, aber die Statistik ist der Wert, den wir verwenden, um den Wert des Parameters zu sch\u00e4tzen, da die Statistik viel einfacher zu erhalten ist.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wenn wir eine Methode wie die <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/probenahmemethoden\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">einfache Zufallsstichprobe<\/a> verwenden, um eine Stichprobe zu erhalten, sagen wir, dass der Stichprobenmittelwert ein <strong>unvoreingenommener Sch\u00e4tzer<\/strong> des Grundgesamtheitsmittelwerts ist.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Mit anderen Worten: Wir haben keinen Grund zu der Annahme, dass der Stichprobenmittelwert den wahren Bev\u00f6lkerungsmittelwert unter- oder \u00fcbersch\u00e4tzen w\u00fcrde.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Der Grund daf\u00fcr ist, dass bei Verwendung einer Methode wie der einfachen Zufallsstichprobe jedes Mitglied der Bev\u00f6lkerung die gleiche Chance hat, in die Stichprobe aufgenommen zu werden, was bedeutet, dass die Stichprobe wahrscheinlich eine \u201eMiniversion\u201c der Gesamtbev\u00f6lkerung ist .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wir w\u00fcrden sagen, dass die Stichprobe <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/reprasentative-stichprobe-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">repr\u00e4sentativ f\u00fcr die Gesamtpopulation<\/a> ist, was bedeutet, dass der Stichprobenmittelwert eine gute Sch\u00e4tzung des Populationsmittelwerts sein sollte, sofern die Stichprobengr\u00f6\u00dfe gro\u00df genug ist.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Zur Verwendung von Konfidenzintervallen mit dem Stichprobenmittelwert<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Obwohl der Stichprobenmittelwert eine unvoreingenommene Sch\u00e4tzung des Grundgesamtheitsmittelwerts darstellt, ist es unwahrscheinlich, dass er <em>genau<\/em> mit dem Grundgesamtheitsmittelwert \u00fcbereinstimmt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wenn wir beispielsweise eine Stichprobe von Schildkr\u00f6ten verwenden m\u00f6chten, um das Durchschnittsgewicht einer Schildkr\u00f6tenpopulation abzusch\u00e4tzen, k\u00f6nnen wir eine Stichprobe mit Schildkr\u00f6ten mit geringem Gewicht oder vielleicht eine Stichprobe mit schweren Schildkr\u00f6ten w\u00e4hlen.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Um diese Unsicherheit rund um unsere Sch\u00e4tzung des Bev\u00f6lkerungsmittelwerts zu erfassen, k\u00f6nnen wir ein<a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/vertrauensintervalle\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Konfidenzintervall<\/a> erstellen.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ein Konfidenzintervall ist ein Wertebereich, der wahrscheinlich einen Populationsparameter mit einem bestimmten Konfidenzniveau enth\u00e4lt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Beispielsweise k\u00f6nnten wir eine Probe von 30 Schildkr\u00f6ten entnehmen und feststellen, dass das Durchschnittsgewicht dieser Probe 102 Pfund betr\u00e4gt. Wenn wir dann ein 95 %-Konfidenzintervall konstruieren, k\u00f6nnten wir feststellen, dass das Intervall wie folgt aussieht:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>95 %-Konfidenzintervall = [98,5, 105,5]<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wir w\u00fcrden dies so interpretieren, dass eine Wahrscheinlichkeit von 95 % besteht, dass das Konfidenzintervall von [98,5, 105,5] das wahre Durchschnittsgewicht der Schildkr\u00f6tenpopulation enth\u00e4lt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Dieses Konfidenzintervall ist n\u00fctzlicher als der einfache Stichprobenmittelwert, da es uns einen <em>Wertebereich<\/em> liefert, innerhalb dessen der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit wahrscheinlich liegen wird.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Zus\u00e4tzliche Ressourcen<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/population-vs.-stichprobe\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Bev\u00f6lkerung vs. Beispiel: Was ist der Unterschied?<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/statistik-vs.-parameter\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Statistik vs. Parameter: Was ist der Unterschied?<\/a><br \/><a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/vertrauensintervalle\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Eine Einf\u00fchrung in Konfidenzintervalle<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In der Statistik wollen wir oft Fragen beantworten wie: Wie hoch ist das durchschnittliche Haushaltseinkommen in einer bestimmten Stadt? Was ist das durchschnittliche Gewicht einer bestimmten Schildkr\u00f6tenart? Wie hoch ist die durchschnittliche Besucherzahl bei College-Football-Spielen? In jedem Szenario m\u00f6chten wir eine Frage zu einer Population beantworten, die alle m\u00f6glichen Einzelelemente repr\u00e4sentiert, die wir messen m\u00f6chten. 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