{"id":133,"date":"2023-08-05T02:21:20","date_gmt":"2023-08-05T02:21:20","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/satz-von-tschebyscheff\/"},"modified":"2023-08-05T02:21:20","modified_gmt":"2023-08-05T02:21:20","slug":"satz-von-tschebyscheff","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/satz-von-tschebyscheff\/","title":{"rendered":"Satz von tschebyschew"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was der Satz von Tschebyscheff ist. Hier finden Sie die Formel des Tschebyscheff-Theorems, eine gel\u00f6ste Aufgabe und zus\u00e4tzlich einen Online-Rechner des Tschebyscheff-Theorems. Schlie\u00dflich wird der Unterschied zwischen dem Satz von Tschebyschew und der empirischen Regel aufgezeigt. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-el-teorema-de-chebyshev\"><\/span> Was ist der Satz von Tschebyschew?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Der Satz von Tschebyscheff<\/strong> , auch bekannt als <strong>Tschebyscheff-Ungleichung<\/strong> , ist eine statistische Regel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert einer Zufallsvariablen in einem bestimmten Abstand von seinem Mittelwert liegt.<\/p>\n<p> Mit anderen Worten: In der Statistik wird der Satz von Tschebyscheff verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, mit der ein Wert innerhalb eines Konfidenzintervalls liegt.<\/p>\n<p> Dar\u00fcber hinaus wird der Satz von Tschebyschew auch zum Beweis anderer statistischer Theoreme verwendet, beispielsweise des Gesetzes der gro\u00dfen Zahlen.<\/p>\n<p> Obwohl der Satz von Tschebyschew erstmals vom Franzosen Ir\u00e9n\u00e9e-Jules Bienaym\u00e9 formuliert wurde, tr\u00e4gt der Satz seinen Namen, weil er 1867 vom Russen Pafnuty Tschebuschew erfunden wurde.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-del-teorema-de-chebyshev\"><\/span> Formel des Satzes von Tschebyschew<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Der Satz von Tschebyscheff besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert gleich <em>k<\/em> Standardabweichungen vom Mittelwert ist, gr\u00f6\u00dfer oder gleich eins minus dem Verh\u00e4ltnis von eins dividiert durch <em>k<\/em> zum Quadrat ist.<\/p>\n<p> Daher lautet die <strong>Formel f\u00fcr den Satz von Tschebyscheff<\/strong> wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f13ff7c0d76ea2442ecd978dbfc457a4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P(\\mu-k\\sigma\\leq X \\leq \\mu+k\\sigma)\\geq 1 -\\frac{1}{k^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"271\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Gold<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-996ff7036e644e89f8ac379fa58d0cf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist der Wert der Zufallsvariablen,<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05d9eae892416bd34247a25207f8b718_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mu\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> das <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/arithmetisches-mittel\/\">arithmetische Mittel<\/a> der Variablen,<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eaaf379fee5e67946f3fedf5631047b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> seine <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/standardabweichung-oder-standardabweichung\/\">Standardabweichung<\/a> und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d42bc2203d6f76ad01b27ac9acc0bee1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> die Anzahl der Standardabweichungen vom Mittelwert, \u00fcber die die Wahrscheinlichkeit berechnet werden soll.<\/p>\n<p> Beachten Sie, dass diese Formel nur verwendet werden kann, wenn die Anzahl der Standardabweichungen, anhand derer die Berechnung durchgef\u00fchrt wird, gr\u00f6\u00dfer als 1 ist, d. h. wenn <em>k<\/em> gr\u00f6\u00dfer als 1 ist.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76b1d6dbe5ee35b66ff33156e238ad73_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k>1&#8243; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;14&#8243; width=&#8220;41&#8243; style=&#8220;vertical-align: -2px;&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<p> \ud83d\udc49 <u style=\"text-decoration-color:#FF8A05;\">Sie k\u00f6nnen den Online-Rechner des Chebyshev-Theorems unten verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.<\/u><\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-del-teorema-de-chebyshev\"><\/span> Beispiel f\u00fcr den Satz von Tschebyschew<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir die Definition des Chebyshev-Theorems und seine Formel gesehen haben, finden Sie hier ein gel\u00f6stes Beispiel dieses statistischen Theorems, um das Konzept besser zu verstehen.<\/p>\n<ul>\n<li> Wenn die in der Kursstatistik einer Universit\u00e4t erzielten Noten durch eine Verteilung mit einem Mittelwert von 65 und einer Standardabweichung von 10 definiert werden, wie viel Prozent der Studierenden haben eine Note zwischen 50 und 80 erhalten?<\/li>\n<\/ul>\n<p> Um dieses Problem zu l\u00f6sen, m\u00fcssen wir die Formel des Satzes von Tschebyscheff anwenden. Allerdings m\u00fcssen wir zun\u00e4chst ermitteln, wie viele Standardabweichungen die Werte 50 und 80 vom Mittelwert der Variablen haben. Dazu m\u00fcssen wir lediglich die folgende Berechnung durchf\u00fchren: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-23a555d6493c0a0be742097fe319932d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k=\\cfrac{\\text{valor}-\\text{media}}{\\text{desviaci\\'on t\\'ipica}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-edee4613c11e3eebd7e1158ad7f7b5c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k=\\cfrac{50-65}{10}=-1,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"155\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7668ffc75752b84a5fdfe4de807efe0d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k=\\cfrac{80-65}{10}=1,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"141\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher entsprechen die Werte 50 und 80 1,5 Standardabweichungen vom unteren bzw. oberen Mittelwert. Wir verwenden daher die Formel des Chebysheva-Theorems mit k=1,5: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6dede501857215fec033905b64a01431_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P(\\mu-k\\sigma\\leq X \\leq \\mu+k\\sigma)\\leq 1 -\\frac{1}{k^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"271\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ace95ab1310d82dc6a6275b123556c07_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P(\\mu-1,5\\sigma\\leq X \\leq \\mu+1,5\\sigma)\\leq 1 -\\frac{1}{1,5^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"319\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa011250591257ffebf651292398d016_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P(50\\leq X \\leq 80)\\leq 0,5556\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"203\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> So erreichten immerhin 55,56 % der Studierenden eine Note zwischen 50 und 80. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"calculadora-del-teorema-de-chebyshev\"><\/span> Chebyshev-Theorem-Rechner<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Geben Sie die Anzahl der Standardabweichungen zwischen den betreffenden Werten und dem Mittelwert <em>(k)<\/em> ein und klicken Sie dann auf \u201eBerechnen\u201c. Der Rechner gibt dann die minimale Wahrscheinlichkeit des Konfidenzintervalls zur\u00fcck.<\/p>\n<p> Sie m\u00fcssen die Anzahl der Standardabweichungen mit dem Punkt als Dezimaltrennzeichen eingeben. <\/p>\n<form action=\"\" method=\"post\">\n<ul style=\"color:#1C2C92;\">\n<li style=\"margin-bottom:15px\"><span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f4c08f6419fa469da3aa1c832f5c6b2b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k = \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"28\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p><input name=\"datos\" style=\"border:1.5px solid #1C2C92; border-radius:5px;  padding:7px; color:#000000; background-color:#EBF5FB; width:60px\" placeholder=\"1.5\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce el n\u00famero total de datos aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"text-align:center\"><input align=\"center\" style=\"font-size:105%; border-radius:30px; margin: 20px\" type=\"submit\" name=\"submit\" value=\"Berechnung\"><\/div>\n<\/form>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"el-teorema-de-chebyshev-y-la-regla-empirica\"><\/span> Satz und Faustregel von Tschebyschew<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Zwei eng verwandte Konzepte in der Statistik sind der Satz von Tschebyschew und die empirische Regel, da beide zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Konfidenzintervallen verwendet werden.<\/p>\n<p> <strong>Der Unterschied zwischen dem Satz von Tschebyschew und der empirischen Regel<\/strong> besteht darin, dass der Satz von Tschebyschew auf jede Art von Verteilung angewendet werden kann, w\u00e4hrend die empirische Regel nur f\u00fcr eine Normalverteilung gilt.<\/p>\n<p> Die Verwendung des Satzes von Tschebyscheff ist daher umfassender, die empirische Regel liefert jedoch genauere Ergebnisse f\u00fcr eine Normalverteilung.<\/p>\n<p> Klicken Sie hier, um die genaue Faustregel zu sehen: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/faustregel\/\">Allgemeine Regel<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was der Satz von Tschebyscheff ist. 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