{"id":1395,"date":"2023-07-26T13:29:57","date_gmt":"2023-07-26T13:29:57","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/normale-naherung\/"},"modified":"2023-07-26T13:29:57","modified_gmt":"2023-07-26T13:29:57","slug":"normale-naherung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/normale-naherung\/","title":{"rendered":"Normale binomiale n\u00e4herung: definition und beispiel"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\"><em>Wenn<\/em> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/zufallige-variablen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">_<\/a> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/binomialverteilung-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">_<\/a> <em>_<\/em> <em>_<\/em> <em>_<\/em><\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u00b5 = np<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u03c3 = \u221a <span style=\"border-top: 1px solid black;\">np(1-p)<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Es stellt sich heraus, dass wir, wenn <em>n<\/em> gro\u00df genug ist, die <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/die-normalverteilung\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Normalverteilung<\/a> verwenden k\u00f6nnen, um die Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit der Binomialverteilung anzun\u00e4hern. Dies wird als <strong>normale binomiale N\u00e4herung<\/strong> bezeichnet.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Damit <em>n<\/em> \u201egro\u00df genug\u201c ist, muss es die folgenden Kriterien erf\u00fcllen:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">np \u2265 5<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">n(1-p) \u2265 5<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wenn beide Kriterien erf\u00fcllt sind, k\u00f6nnen wir die Normalverteilung verwenden, um Wahrscheinlichkeitsfragen im Zusammenhang mit der Binomialverteilung zu beantworten.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Da die Normalverteilung jedoch eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, w\u00e4hrend die Binomialverteilung eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, m\u00fcssen wir bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten eine Kontinuit\u00e4tskorrektur anwenden.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Einfach ausgedr\u00fcckt ist eine <strong>Kontinuit\u00e4tskorrektur<\/strong> die Bezeichnung f\u00fcr das Addieren oder Subtrahieren von 0,5 von einem diskreten x-Wert.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nehmen wir zum Beispiel an, wir m\u00f6chten die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass eine M\u00fcnze im Verlauf von 100 W\u00fcrfen h\u00f6chstens 45 Mal auf dem Kopf landet. Das hei\u00dft, wir wollen P(X \u2264 45) finden. Um die Normalverteilung zur Ann\u00e4herung an die Binomialverteilung zu verwenden, w\u00fcrden wir stattdessen P(X \u2264 45,5) finden.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die folgende Tabelle zeigt, wann Sie 0,5 addieren oder subtrahieren sollten, abh\u00e4ngig von der Art der Wahrscheinlichkeit, die Sie ermitteln m\u00f6chten:<\/span><\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Verwenden Sie die Binomialverteilung<\/strong><\/span><\/th>\n<th> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Verwendung der Normalverteilung mit Kontinuit\u00e4tskorrektur<\/strong><\/span><\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X = 45<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">44,5 &lt; X &lt; 45,5<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X \u2264 45<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X &lt; 45,5<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X &lt; 45<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X &lt; 44,5<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X \u2265 45<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X &gt; 44,5<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X &gt; 45<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X &gt; 45,5<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Das folgende Schritt-f\u00fcr-Schritt-Beispiel zeigt, wie die Normalverteilung zur Ann\u00e4herung an die Binomialverteilung verwendet wird.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Beispiel: Normaln\u00e4herung des Binomials<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Angenommen, wir m\u00f6chten wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass eine M\u00fcnze in 100 W\u00fcrfen h\u00f6chstens 43 Mal auf \u201eKopf\u201c landet.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In dieser Situation haben wir folgende Werte:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>n<\/strong> (Anzahl der Versuche) = 100<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>X<\/strong> (Anzahl der Erfolge) = 43<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>p<\/strong> (Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem bestimmten Versuch) = 0,50<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die M\u00fcnze weniger als oder gleich 43 Mal auf \u201eKopf\u201c landet, k\u00f6nnen wir die folgenden Schritte verwenden:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 1: Stellen Sie sicher, dass die Stichprobengr\u00f6\u00dfe gro\u00df genug ist, um die Normaln\u00e4herung zu verwenden.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Zun\u00e4chst m\u00fcssen wir pr\u00fcfen, ob die folgenden Kriterien erf\u00fcllt sind:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">np \u2265 5<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">n(1-p) \u2265 5<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In diesem Fall haben wir:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">np = 100*0,5 = 50<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">n(1-p) = 100*(1 \u2013 0,5) = 100*0,5 = 50<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Beide Zahlen sind gr\u00f6\u00dfer als 5, sodass wir sicher die Normaln\u00e4herung verwenden k\u00f6nnen.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 2: Bestimmen Sie die anzuwendende Kontinuit\u00e4tskorrektur.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Anhand der obigen Tabelle sehen wir, dass wir 0,5 hinzuf\u00fcgen sollten, wenn wir mit der Wahrscheinlichkeit in der Form X \u2264 43 arbeiten. Somit finden wir P(X&lt; 43,5).<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 3: Ermitteln Sie den Mittelwert (\u03bc) und die Standardabweichung (\u03c3) der Binomialverteilung.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>\u00b5<\/strong> = n*p = 100*0,5 = 50<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>\u03c3<\/strong> = \u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">n*p*(1-p)<\/span> = \u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">100*.5*(1-.5)<\/span> = \u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">25<\/span> = 5<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 4: Ermitteln Sie den Z-Score anhand des im vorherigen Schritt ermittelten Mittelwerts und der Standardabweichung.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>z<\/strong> = (x \u2013 \u03bc) \/ \u03c3 = (43,5 \u2013 50) \/ 5 = -6,5 \/ 5 = -1,3.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 5: Ermitteln Sie die mit dem Z-Score verbundene Wahrscheinlichkeit.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wir k\u00f6nnen den <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/schneller-normaler-cdf-rechner\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">normalen CDF-Rechner<\/a> verwenden, um herauszufinden, dass die Fl\u00e4che unter der Standardnormalkurve links von -1,3 <strong>0,0968<\/strong> betr\u00e4gt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Wahrscheinlichkeit, dass eine M\u00fcnze bei 100 W\u00fcrfen h\u00f6chstens 43 Mal \u201eKopf\u201c landet, betr\u00e4gt also <strong>0,0968<\/strong> .<\/span><\/p>\n<hr>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Dieses Beispiel veranschaulicht Folgendes:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Wir hatten eine Situation, in der eine Zufallsvariable einer Binomialverteilung folgte.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Wir wollten die Wahrscheinlichkeit ermitteln, einen bestimmten Wert f\u00fcr diese Zufallsvariable zu erhalten.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Da die Stichprobengr\u00f6\u00dfe (n = 100 Versuche) gro\u00df genug war, konnten wir die Normalverteilung verwenden, um die Binomialverteilung anzun\u00e4hern.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Dies ist ein vollst\u00e4ndiges Beispiel daf\u00fcr, wie man die Normaln\u00e4herung verwendet, um Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit der Binomialverteilung zu finden.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Wenn _ _ _ _ _ \u00b5 = np \u03c3 = \u221a np(1-p) Es stellt sich heraus, dass wir, wenn n gro\u00df genug ist, die Normalverteilung verwenden k\u00f6nnen, um die Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit der Binomialverteilung anzun\u00e4hern. 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