{"id":143,"date":"2023-08-04T23:38:31","date_gmt":"2023-08-04T23:38:31","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/y-kurtosis-asymmetrie\/"},"modified":"2023-08-04T23:38:31","modified_gmt":"2023-08-04T23:38:31","slug":"y-kurtosis-asymmetrie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/y-kurtosis-asymmetrie\/","title":{"rendered":"Asymmetrie und abflachung"},"content":{"rendered":"

In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was Schiefe und Kurtosis in der Statistik sind. Hier finden Sie die Definitionen dieser beiden Konzepte, Informationen zur Berechnung von Schiefe und Kurtosis, die entsprechenden Formeln sowie einen Online-Rechner zur Berechnung der Schiefe und Kurtosis einer beliebigen Datenstichprobe. <\/p>\n

<\/span> Was sind Schiefe und Kurtosis?<\/span><\/h2>\n

Schiefe und Kurtosis<\/strong> sind zwei statistische Ma\u00dfe, mit denen die Form einer Verteilung beschrieben werden kann, ohne dass eine grafische Darstellung erforderlich ist. Genauer gesagt gibt die Schiefe den Grad der Symmetrie (oder Schiefe) einer Verteilung an, w\u00e4hrend die Kurtosis den Grad der Konzentration einer Verteilung um ihren Mittelwert angibt.<\/p>\n

In der Statistik werden Schiefe und Kurtosis auch Formma\u00dfe<\/a> genannt.<\/p>\n

\ud83d\udc49 Mit dem unten stehenden Online-Rechner k\u00f6nnen Sie die Schiefe und Kurtosis eines beliebigen Datensatzes berechnen.<\/u><\/p>\n

<\/span> Asymmetrie<\/span><\/h2>\n

In der Statistik ist die Schiefe<\/strong> ein Ma\u00df, das den Grad der Symmetrie (oder Asymmetrie) einer Verteilung relativ zu ihrem Mittelwert angibt. Einfach ausgedr\u00fcckt ist die Schiefe ein statistischer Parameter, mit dem der Grad der Symmetrie (oder Asymmetrie) einer Verteilung bestimmt werden kann, ohne dass eine grafische Darstellung erforderlich ist.<\/p>\n

Eine asymmetrische Verteilung ist also eine Verteilung, die links vom Mittelwert eine andere Anzahl von Werten aufweist als rechts davon. Bei einer symmetrischen Verteilung hingegen gibt es links und rechts vom Mittel gleich viele Werte.<\/p>\n

Daher unterscheiden wir drei Arten von Asymmetrie<\/strong> :<\/p>\n

    \n
  • Positive Asymmetrie<\/strong> : Die Verteilung weist rechts vom Mittelwert mehr unterschiedliche Werte auf als links davon.<\/span><\/li>\n
  • Symmetrie<\/strong> : Die Verteilung hat links vom Mittelwert die gleiche Anzahl von Werten wie rechts vom Mittelwert.<\/span><\/li>\n
  • Negative Schiefe<\/strong> : Die Verteilung hat links vom Mittelwert mehr unterschiedliche Werte als rechts davon.<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n
    \"Arten<\/figure>\n

    <\/span> Asymmetriekoeffizient<\/span><\/h3>\n

    Der Schiefekoeffizient<\/strong> oder Asymmetrieindex<\/strong> ist ein statistischer Koeffizient, der dabei hilft, die Asymmetrie einer Verteilung zu bestimmen. Somit ist es durch die Berechnung des Asymmetriekoeffizienten m\u00f6glich, zu wissen, welche Art von Asymmetrie die Verteilung aufweist, ohne sie grafisch darstellen zu m\u00fcssen.<\/p>\n

    Obwohl es verschiedene Formeln zur Berechnung des Asymmetriekoeffizienten gibt und wir sie alle unten sehen werden, erfolgt die Interpretation des Asymmetriekoeffizienten unabh\u00e4ngig von der verwendeten Formel immer wie folgt: <\/p>\n

    \n
      \n
    • Wenn der Schiefekoeffizient von positiv ist, ist die Verteilung positiv schief<\/strong> .<\/span><\/li>\n
    • Wenn der Asymmetriekoeffizient von gleich Null ist, ist die Verteilung symmetrisch<\/strong> .<\/span><\/li>\n
    • Wenn der Schiefekoeffizient von negativ ist, ist die Verteilung negativ schief<\/strong> .<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n

      Fishers Asymmetriekoeffizient<\/h4>\n

      Der Schiefekoeffizient nach Fisher entspricht dem dritten Moment um den Mittelwert dividiert durch die Standardabweichung der Stichprobe. Daher lautet die Formel f\u00fcr den Fisher-Asymmetriekoeffizienten<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n

      \"\\displaystyle\\gamma_1=\\frac{\\mu_3}{\\sigma^3}\"<\/p>\n<\/p>\n

      Entsprechend kann eine der beiden folgenden Formeln zur Berechnung des Fisher-Koeffizienten verwendet werden:<\/p>\n<\/p>\n

      \"\\displaystyle\\gamma_1=\\frac{\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

      \"\\displaystyle\\gamma_1=\\frac{\\operatorname{E}[X^3]<\/p>\n<\/p>\n

      Gold<\/p>\n<\/p>\n

      \"E\"<\/p>\n

      ist die mathematische Erwartung,<\/p>\n

      \"\\mu\"<\/p>\n

      das arithmetische Mittel,<\/p>\n

      \"\\sigma\"<\/p>\n

      die Standardabweichung und<\/p>\n

      \"N\"<\/p>\n

      die Gesamtzahl der Daten.<\/p>\n

      Wenn die Daten hingegen gruppiert sind, k\u00f6nnen Sie die folgende Formel verwenden:<\/p>\n<\/p>\n

      \"\\displaystyle\\gamma_1=\\frac{\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

      Wo in diesem Fall<\/p>\n<\/p>\n

      \"x_i\"<\/p>\n

      Es ist das Zeichen von Klasse und<\/p>\n

      \"f_i\"<\/p>\n

      die absolute H\u00e4ufigkeit des Kurses.<\/p>\n

      Asymmetriekoeffizient nach Pearson<\/h4>\n

      Der Schiefekoeffizient nach Pearson entspricht der Differenz zwischen dem Stichprobenmittelwert und dem Stichprobenmodus dividiert durch seine Standardabweichung (oder Standardabweichung). Die Formel f\u00fcr den Pearson-Asymmetriekoeffizienten<\/strong> lautet daher wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n

      \"A_p=\\cfrac{\\mu-Mo}{\\sigma}\"<\/p>\n<\/p>\n

      Gold<\/p>\n<\/p>\n

      \"A_p\"<\/p>\n

      ist der Pearson-Koeffizient,<\/p>\n

      \"\\mu\"<\/p>\n

      das arithmetische Mittel,<\/p>\n

      \"Mo\"<\/p>\n

      Mode und<\/p>\n

      \"\\sigma\"<\/p>\n

      die Standardabweichung.<\/p>\n

      Beachten Sie, dass der Pearson-Skewness-Koeffizient nur berechnet werden kann, wenn es sich um eine unimodale Verteilung handelt, d. h. wenn die Daten nur einen Modus enthalten.<\/p>\n

      Bowleys Asymmetriekoeffizient<\/h4>\n

      Der Schiefekoeffizient nach Bowley<\/strong> ist gleich der Summe aus dem dritten Quartil plus dem ersten Quartil minus dem Doppelten des Medians dividiert durch die Differenz zwischen dem dritten und dem ersten Quartil. Die Formel f\u00fcr diesen Asymmetriekoeffizienten lautet daher wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n

      \"A_B=\\cfrac{Q_3+Q_1-2\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

      Gold<\/p>\n<\/p>\n

      \"Q_1\"<\/p>\n

      Und<\/p>\n

      \"Q_3\"<\/p>\n

      Dies sind jeweils das erste und dritte Quartil und<\/p>\n

      \"Me\"<\/p>\n

      ist der Median der Verteilung.<\/p>\n

      <\/span> Abflachung<\/span><\/h2>\n

      Kurtosis<\/strong> , auch Schiefe<\/strong> genannt, gibt an, wie konzentriert eine Verteilung um ihren Mittelwert ist. Mit anderen Worten: Kurtosis gibt an, ob eine Verteilung steil oder flach ist. Konkret gilt: Je gr\u00f6\u00dfer die Kurtosis einer Verteilung, desto steiler (oder sch\u00e4rfer) ist sie. <\/p>\n

      \"schmeichelhaft\"<\/figure>\n

      Es gibt drei Arten von Schmeichelei<\/strong> :<\/p>\n

        \n
      • Leptokurtic<\/strong> : Die Verteilung ist sehr spitz, das hei\u00dft, die Daten konzentrieren sich stark um den Mittelwert. Genauer gesagt werden leptokurtische Verteilungen als Verteilungen definiert, die sch\u00e4rfer als die Normalverteilung sind.<\/span><\/li>\n
      • Mesokurtic<\/strong> : Die Kurtosis der Verteilung entspricht der Kurtosis der Normalverteilung. Daher gilt es weder als scharf noch als schmeichelhaft.<\/span><\/li>\n
      • Platykurtic<\/strong> : Die Verteilung ist sehr flach, das hei\u00dft, die Konzentration um den Mittelwert ist gering. Formal werden platykurtische Verteilungen als solche Verteilungen definiert, die flacher als die Normalverteilung sind.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n

        Beachten Sie, dass die verschiedenen Kurtosis-Typen anhand der Kurtosis der Normalverteilung als Referenz definiert werden. <\/p>\n

        \"Arten<\/figure>\n

        <\/span> Kurtosis-Koeffizient<\/span><\/h3>\n

        Die Formel f\u00fcr den Kurtosis-Koeffizienten<\/strong> lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n

        \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

        Die Formel f\u00fcr den Kurtosis-Koeffizienten f\u00fcr in H\u00e4ufigkeitstabellen gruppierte Daten<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n

        \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

        Schlie\u00dflich die Formel f\u00fcr den Kurtosis-Koeffizienten f\u00fcr in Intervalle gruppierte Daten<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n

        \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

        Gold: <\/p>\n

          \n
        • \n

          \"g_2\"<\/p>\n

          ist der Kurtosis-Koeffizient.<\/li>\n

        • \n

          \"N\"<\/p>\n

          ist die Gesamtzahl der Daten.<\/li>\n

        • \n

          \"x_i\"<\/p>\n

          ist der i-te Datenpunkt in der Reihe.<\/li>\n

        • \n

          \"\\mu\"<\/p>\n

          ist das arithmetische Mittel der Verteilung.<\/li>\n

        • \n

          \"\\sigma\"<\/p>\n

          ist die Standardabweichung (oder typische Abweichung) der Verteilung.<\/li>\n

        • \n

          \"f_i\"<\/p>\n

          ist die absolute H\u00e4ufigkeit des it-Datensatzes.<\/li>\n

        • \n

          \"c_i\"<\/p>\n

          ist die Klassennote der i-ten Gruppe.<\/li>\n<\/ul>\n

          Beachten Sie, dass in allen Kurtosis-Koeffizientenformeln 3 subtrahiert wird, da es sich um den Kurtosis-Wert der Normalverteilung handelt. Daher erfolgt die Berechnung des Kurtosis-Koeffizienten unter Verwendung der Kurtosis der Normalverteilung als Referenz. Aus diesem Grund hei\u00dft es in der Statistik manchmal, dass eine \u00fcberm\u00e4\u00dfige Kurtosis<\/strong> berechnet wird.<\/p>\n

          Nachdem der Kurtosis-Koeffizient berechnet wurde, muss er wie folgt interpretiert werden, um festzustellen, um welche Art von Kurtosis es sich handelt: <\/p>\n

          \n
            \n
          • Wenn der Kurtosis-Koeffizient positiv ist, bedeutet dies, dass die Verteilung leptokurtisch<\/strong> ist.<\/span><\/li>\n
          • Wenn der Kurtosis-Koeffizient Null ist, bedeutet dies, dass die Verteilung mesokurtisch<\/strong> ist.<\/span><\/li>\n
          • Wenn der Kurtosis-Koeffizient negativ ist, bedeutet dies, dass die Verteilung platykurtisch<\/strong> ist.<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n

            <\/span> Schiefe- und Kurtosis-Rechner<\/span><\/h2>\n

            Geben Sie einen Datensatz in den folgenden Rechner ein, um seine Schiefe und seinen Kurtosis-Koeffizienten zu berechnen und auch zu bestimmen, um welche Art von Verteilung es sich handelt. Die Daten m\u00fcssen durch ein Leerzeichen getrennt und mit dem Punkt als Dezimaltrennzeichen eingegeben werden. <\/p>\n