{"id":1494,"date":"2023-07-26T04:06:05","date_gmt":"2023-07-26T04:06:05","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/exponentialverteilung\/"},"modified":"2023-07-26T04:06:05","modified_gmt":"2023-07-26T04:06:05","slug":"exponentialverteilung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/exponentialverteilung\/","title":{"rendered":"Eine einf\u00fchrung in die exponentialverteilung"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Die <strong>Exponentialverteilung<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit der die Zeit modelliert wird, die wir warten m\u00fcssen, bis ein bestimmtes Ereignis eintritt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Mit dieser Verteilung k\u00f6nnen Fragen beantwortet werden wie:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Wie lange sollte ein Einzelh\u00e4ndler warten, bis ein Kunde sein Gesch\u00e4ft betritt?<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Wie lange funktioniert ein Laptop noch, bevor er kaputt geht?<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Wie lange funktioniert eine Autobatterie noch, bevor sie leer ist?<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Wie lange sollten wir bis zum n\u00e4chsten Vulkanausbruch in einer bestimmten Region warten?<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In jedem Szenario wollen wir berechnen, wie lange wir warten m\u00fcssen, bis ein bestimmtes Ereignis eintritt. Somit k\u00f6nnte jedes Szenario mithilfe einer Exponentialverteilung modelliert werden.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Exponentielle Verteilung: PDF und CDF<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wenn eine <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/zufallige-variablen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Zufallsvariable<\/a> <em>X<\/em> einer Exponentialverteilung folgt, kann die <strong>Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion<\/strong> von <em>X<\/em> wie folgt geschrieben werden:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong><em>f<\/em> (x; \u03bb) = \u03bbe <sup>-\u03bbx<\/sup><\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gold:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>\u03bb:<\/strong> der Geschwindigkeitsparameter (berechnet als \u03bb = 1\/\u03bc)<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>e:<\/strong> Eine Konstante, die ungef\u00e4hr 2,718 entspricht<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die <em>kumulative<\/em> <strong>Verteilungsfunktion<\/strong> von<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong><em>F<\/em> (x; \u03bb) = 1 \u2013 e <sup>-\u03bbx<\/sup><\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In der Praxis wird der CDF am h\u00e4ufigsten zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit der Exponentialverteilung verwendet.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Angenommen, die durchschnittliche Anzahl der Minuten zwischen den Ausbr\u00fcchen eines bestimmten Geysirs betr\u00e4gt 40 Minuten. Wie wahrscheinlich ist es, dass wir weniger als 50 Minuten auf einen Ausbruch warten m\u00fcssen?<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Um dieses Problem zu l\u00f6sen, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst den Geschwindigkeitsparameter berechnen:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u03bb = 1\/\u00b5<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u03bb = 1\/40<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u03bb = 0,025<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wir k\u00f6nnen \u03bb = 0,025 und x = 50 in die CDF-Formel einsetzen:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(X \u2264 x) = 1 \u2013 e <sup>-\u03bbx<\/sup><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(X \u2264 50) = 1 \u2013 e <sup>-0,025(50)<\/sup><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(X \u2264 50) = 0,7135<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Wahrscheinlichkeit, dass wir weniger als 50 Minuten auf den n\u00e4chsten Ausbruch warten m\u00fcssen, betr\u00e4gt <strong>0,7135<\/strong> .<\/span><\/p>\n<h3> <strong>Visualisieren Sie die Exponentialverteilung<\/strong><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die folgende Grafik zeigt die <strong>Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion<\/strong> einer <em>Zufallsvariablen<\/em><\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-14822 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/exp2.png\" alt=\"Exponentielles Verteilungsdiagramm\" width=\"377\" height=\"367\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><span style=\"color: #000000;\">Und die folgende Grafik zeigt die <strong>kumulative Verteilungsfunktion<\/strong> einer Zufallsvariablen <em>X<\/em> , die einer Exponentialverteilung mit unterschiedlichen Ratenparametern folgt:<\/span><\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-14823 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/exp1.png\" alt=\"Diagramm der exponentiellen kumulativen Verteilungsfunktion\" width=\"376\" height=\"364\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Hinweis:<\/strong> Sehen Sie sich <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/zeichnen-sie-eine-exponentialverteilung-in-r\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">dieses Tutorial<\/a> an, um zu erfahren, wie Sie eine Exponentialverteilung in R zeichnen.<\/span><\/p>\n<h3> <strong>Eigenschaften der Exponentialverteilung<\/strong><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Exponentialverteilung hat folgende Eigenschaften:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Durchschnitt: <strong>1 \/ \u03bb<\/strong><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Differenz: <b>1 \/ <strong>\u03bb <sup>2<\/sup><\/strong><\/b><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Angenommen, die durchschnittliche Anzahl der Minuten zwischen den Ausbr\u00fcchen eines bestimmten Geysirs betr\u00e4gt 40 Minuten. Wir w\u00fcrden die Rate als \u03bb = 1\/\u03bc = 1\/40 = 0,025 berechnen.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wir k\u00f6nnten dann die folgenden Eigenschaften f\u00fcr diese Verteilung berechnen:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Durchschnittliche Wartezeit f\u00fcr den n\u00e4chsten Ausbruch: 1\/\u03bb = 1 \/.025 = <strong>40<\/strong><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Variation der Wartezeiten f\u00fcr den n\u00e4chsten Ausbruch: 1\/\u03bb <sup>2<\/sup> = 1 \/.025 <sup>2<\/sup> = <strong>1600<\/strong><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <em><span style=\"color: #000000;\"><strong>Hinweis:<\/strong> Die Exponentialverteilung hat auch die <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/eigentum-ohne-erinnerung\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Eigenschaft der Ged\u00e4chtnislosigkeit<\/a> , was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines zuk\u00fcnftigen Ereignisses nicht durch das Eintreten vergangener Ereignisse beeinflusst wird.<\/span><\/em><\/p>\n<h3> <strong>Probleme der Exponentialverteilungspraxis<\/strong><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Verwenden Sie die folgenden \u00dcbungsaufgaben, um Ihr Wissen \u00fcber die Exponentialverteilung zu testen.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Frage 1:<\/strong> Durchschnittlich alle zwei Minuten betritt ein neuer Kunde ein Gesch\u00e4ft. Bestimmen Sie nach der Ankunft eines Kunden die Wahrscheinlichkeit, dass in weniger als einer Minute ein neuer Kunde eintrifft.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>L\u00f6sung 1:<\/strong> Die durchschnittliche Zeit zwischen Clients betr\u00e4gt zwei Minuten. Somit kann der Satz wie folgt berechnet werden:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u03bb = 1\/\u00b5<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u03bb = 1\/2<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u03bb = 0,5<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wir k\u00f6nnen \u03bb = 0,5 und x = 1 in die CDF-Formel einsetzen:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(X \u2264 x) = 1 \u2013 e <sup>-\u03bbx<\/sup><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(X \u2264 1) = 1 \u2013 e <sup>-0,5(1)<\/sup><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(X \u2264 1) = 0,3935<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Wahrscheinlichkeit, dass wir weniger als eine Minute auf den n\u00e4chsten Kunden warten m\u00fcssen, betr\u00e4gt <strong>0,3935<\/strong> .<\/span><\/p>\n<hr>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Frage 2:<\/strong> In einer bestimmten Region kommt es durchschnittlich alle 400 Tage zu einem Erdbeben. Bestimmen Sie nach einem Erdbeben die Wahrscheinlichkeit, dass es mehr als 500 Tage dauert, bis das n\u00e4chste Erdbeben auftritt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>L\u00f6sung 2:<\/strong> Die durchschnittliche Zeit zwischen Erdbeben betr\u00e4gt 400 Tage. Somit kann der Satz wie folgt berechnet werden:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u03bb = 1\/\u00b5<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u03bb = 1\/400<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u03bb = 0,0025<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wir k\u00f6nnen \u03bb = 0,0025 und x = 500 in die CDF-Formel einsetzen:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(X \u2264 x) = 1 \u2013 e <sup>-\u03bbx<\/sup><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(X \u2264 1) = 1 \u2013 e <sup>-0,0025(500)<\/sup><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(X \u2264 1) = 0,7135<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Wahrscheinlichkeit, dass wir weniger als 500 Tage auf das n\u00e4chste Erdbeben warten m\u00fcssen, betr\u00e4gt 0,7135. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir <em>mehr<\/em> als 500 Tage auf das n\u00e4chste Erdbeben warten m\u00fcssen, betr\u00e4gt also 1 \u2013 0,7135 = <strong>0,2865<\/strong> .<\/span><\/p>\n<hr>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Frage 3:<\/strong> Ein Callcenter erh\u00e4lt durchschnittlich alle 10 Minuten einen neuen Anruf. Bestimmen Sie nach einem Kundenanruf die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb von 10 bis 15 Minuten ein neuer Kunde anruft.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>L\u00f6sung 3:<\/strong> Die durchschnittliche Zeit zwischen Anrufen betr\u00e4gt 10 Minuten. Somit kann der Satz wie folgt berechnet werden:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u03bb = 1\/\u00b5<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u03bb = 1\/10<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u03bb = 0,1<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Mit der folgenden Formel k\u00f6nnen wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein neuer Kunde innerhalb von 10-15 Minuten anruft:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(10 &lt; X \u2264 15) = (1 \u2013 e <sup>-0,1(15)<\/sup> ) \u2013 (1 \u2013 e <sup>-0,1(10)<\/sup> )<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(10 &lt; X \u2264 15) = 0,7769 \u2013 0,6321<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(10 &lt; X \u2264 15) = 0,1448<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Wahrscheinlichkeit, dass ein neuer Kunde innerhalb von 10\u201315 Minuten anruft. ist <strong>0,1448<\/strong> .<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Zus\u00e4tzliche Ressourcen<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die folgenden Tutorials bieten Einf\u00fchrungen in andere g\u00e4ngige Wahrscheinlichkeitsverteilungen.<\/span><\/p>\n<p> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/die-normalverteilung\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Eine Einf\u00fchrung in die Normalverteilung<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/binomialverteilung-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Eine Einf\u00fchrung in die Binomialverteilung<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/verteilung-von-fisch\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Eine Einf\u00fchrung in die Poisson-Verteilung<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/gleichmassige-verteilung\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Eine Einf\u00fchrung in die Gleichverteilung<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Die Exponentialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit der die Zeit modelliert wird, die wir warten m\u00fcssen, bis ein bestimmtes Ereignis eintritt. 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