{"id":1511,"date":"2023-07-26T02:11:43","date_gmt":"2023-07-26T02:11:43","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/die-varianz-kann-negativ-sein\/"},"modified":"2023-07-26T02:11:43","modified_gmt":"2023-07-26T02:11:43","slug":"die-varianz-kann-negativ-sein","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/die-varianz-kann-negativ-sein\/","title":{"rendered":"Kann die varianz negativ sein?"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">In der Statistik bezieht sich der Begriff <strong>Varianz<\/strong> darauf, wie Werte in einem bestimmten Datensatz verteilt sind.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Eine h\u00e4ufige Frage, die Studierende zum Thema Varianz stellen, ist:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><em>Kann die Varianz negativ sein?<\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Antwort: <strong>Nein, die Varianz kann nicht negativ sein.<\/strong> Der niedrigste Wert, den es annehmen kann, ist Null.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Um zu verstehen, warum das so ist, m\u00fcssen wir verstehen, wie die Varianz tats\u00e4chlich berechnet wird.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>So berechnen Sie die L\u00fccke<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Formel zum Ermitteln der Varianz einer Stichprobe (bezeichnet mit <strong>s <sup>2<\/sup><\/strong> ) lautet:<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong>s <sup>2<\/sup><\/strong> = \u03a3 (x <sub>i<\/sub> \u2013 <span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> ) <sup>2<\/sup> \/ (n-1)<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gold:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span><\/strong> : Das Stichprobenmittel<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>x <sub>i<\/sub><\/strong> : Die <sup>i-te<\/sup> Beobachtung in der Stichprobe<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>N<\/strong> : Stichprobengr\u00f6\u00dfe<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>\u03a3<\/strong> : Ein griechisches Symbol mit der Bedeutung \u201eSumme\u201c<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Angenommen, wir haben den folgenden Datensatz mit 10 Werten:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-15008 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/varparmain1.png\" alt=\"\" width=\"77\" height=\"276\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Mit den folgenden Schritten k\u00f6nnen wir die Varianz dieser Stichprobe berechnen:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 1: Finden Sie den Durchschnitt<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Der Durchschnitt ist einfach der Durchschnitt. Es ergibt sich ein Wert von <strong>14,7<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 2: Ermitteln Sie die quadratischen Abweichungen<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Dann k\u00f6nnen wir die quadratische Abweichung jedes einzelnen Wertes vom Mittelwert berechnen.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die erste quadratische Abweichung wird beispielsweise als (6-14,7) <sup>2<\/sup> = 75,69 berechnet.<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-15009 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/varparmain2.png\" alt=\"\" width=\"156\" height=\"290\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 3: Ermitteln Sie die Summe der quadrierten Abweichungen<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Dann k\u00f6nnen wir alle Quadrate der Abweichungen summieren:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-15010 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/varparmain3.png\" alt=\"\" width=\"155\" height=\"320\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 4: Berechnen Sie die Stichprobenvarianz<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Schlie\u00dflich k\u00f6nnen wir die Stichprobenvarianz als Summe der quadratischen Abweichungen dividiert durch (n-1) berechnen:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">s <sup>2<\/sup> = 330,1 \/ (10-1) = 330,1 \/ 9 = 36,678<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Stichprobenvarianz betr\u00e4gt <strong>36.678<\/strong> .<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Ein Beispiel f\u00fcr eine Nullvarianz<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die einzige M\u00f6glichkeit f\u00fcr einen Datensatz, eine Varianz von Null zu haben, besteht darin, dass <strong>alle Werte im Datensatz gleich sind<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Der folgende Datensatz hat beispielsweise eine Stichprobenvarianz von Null:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-15011\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/varparmain4.png\" alt=\"Beispiel eines Datensatzes mit einer Varianz von Null\" width=\"85\" height=\"300\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Der Mittelwert des Datensatzes liegt bei 15 und keiner der Einzelwerte weicht vom Mittelwert ab. Somit ist die Summe der Quadrate der Abweichungen Null und die Stichprobenvarianz ist einfach Null.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Kann die Standardabweichung negativ sein?<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Eine gebr\u00e4uchlichere Methode zur Messung der Werteverteilung in einem Datensatz ist die Verwendung der Standardabweichung, die einfach die Quadratwurzel der Varianz ist.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wenn beispielsweise die Varianz einer bestimmten Stichprobe <sup>s2<\/sup> = <strong>36,678<\/strong> betr\u00e4gt, wird die Standardabweichung (geschrieben <em>s<\/em> ) wie folgt berechnet:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">s = \u221a <span style=\"border-top: 1px solid black;\"><sup>s2<\/sup><\/span> = \u221a <span style=\"border-top: 1px solid black;\">36,678<\/span> = <strong>6,056<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Da wir bereits wissen, dass die Varianz immer Null oder eine positive Zahl ist, bedeutet dies, dass <strong>die Standardabweichung niemals negativ sein kann, da<\/strong> die Quadratwurzel aus Null oder einer positiven Zahl nicht negativ sein kann.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Zus\u00e4tzliche Ressourcen<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/misst-die-zentrale-tendenz\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Ma\u00dfe der zentralen Tendenz: Definition und Beispiele<\/a><br \/> Streuungsma\u00dfe: Definition und Beispiele<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In der Statistik bezieht sich der Begriff Varianz darauf, wie Werte in einem bestimmten Datensatz verteilt sind. 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