{"id":213,"date":"2023-08-04T02:39:23","date_gmt":"2023-08-04T02:39:23","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/beta-verteilung\/"},"modified":"2023-08-04T02:39:23","modified_gmt":"2023-08-04T02:39:23","slug":"beta-verteilung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/beta-verteilung\/","title":{"rendered":"Beta-verteilung"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was Beta-Distribution ist und wof\u00fcr sie verwendet wird. Ebenso k\u00f6nnen Sie das Beta-Verteilungsdiagramm und die Eigenschaften dieser Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung sehen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-distribucion-beta\"><\/span> Was ist die Beta-Verteilung?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die <strong>Beta-Verteilung<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auf dem Intervall (0,1) definiert und durch zwei positive Parameter parametrisiert ist: \u03b1 und \u03b2. Mit anderen Worten, die Werte der Beta-Verteilung h\u00e4ngen von den Parametern \u03b1 und \u03b2 ab.<\/p>\n<p> Daher besteht das Hauptmerkmal der Beta-Verteilung darin, dass ihre Form durch die Parameter \u03b1 und \u03b2 gesteuert werden kann. Dar\u00fcber hinaus wird die Betaverteilung verwendet, um Zufallsvariablen zu definieren, deren Wert zwischen 0 und 1 liegt.<\/p>\n<p> Es gibt mehrere Notationen, die darauf hinweisen, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable durch eine Betaverteilung bestimmt wird. Die gebr\u00e4uchlichsten sind:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee1d0d8a1624a017b8ef9ce8a67c694e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}X\\sim B(\\alpha,\\beta)\\\\[2ex]X\\sim Beta(\\alpha,\\beta)\\\\[2ex]X\\sim \\beta_{\\alpha,\\beta}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"95\" width=\"121\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In der Statistik hat die Beta-Verteilung sehr unterschiedliche Anwendungen. Beispielsweise wird die Betaverteilung verwendet, um prozentuale Schwankungen in verschiedenen Stichproben zu untersuchen. In \u00e4hnlicher Weise wird im Projektmanagement die Betaverteilung zur Durchf\u00fchrung einer Pert-Analyse verwendet. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"grafica-de-la-distribucion-beta\"><\/span> Beta-Verteilungsdiagramm<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Unter Ber\u00fccksichtigung der Definition der Beta-Verteilung werden unten die Dichtefunktion und die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der Beta-Verteilung dargestellt.<\/p>\n<p> Unten sehen Sie, wie sich der Dichtefunktionsgraph der Beta-Verteilung in Abh\u00e4ngigkeit von den Parametern \u03b1 und \u03b2 \u00e4ndert. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/distribution-graphique-beta.png\" alt=\"Beta-Verteilungsdiagramm\" class=\"wp-image-4315\" width=\"621\" height=\"372\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Ebenso sehen Sie unten die grafische Darstellung der kumulativen Wahrscheinlichkeit der Beta-Verteilung basierend auf den Parametern \u03b1 und \u03b2. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/distribution-beta-cumulative.png\" alt=\"kumulatives Beta-Verteilungsdiagramm\" class=\"wp-image-4316\" width=\"621\" height=\"373\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-la-distribucion-beta\"><\/span> Merkmale der Beta-Verteilung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In diesem Abschnitt werden wir sehen, was die wichtigsten Merkmale der Beta-Verteilung sind.<\/p>\n<ul>\n<li> Die Parameter \u03b1 und \u03b2 der Betaverteilung sind reelle und positive Zahlen.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-442bebaba847543d6db71cdf0127a4b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}\\alpha >0\\\\[2ex] \\beta >0\\end{array}&#8220; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;54&#8243; width=&#8220;44&#8243; style=&#8220;vertical-align: 0px;&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Bereich der Betaverteilung reicht von 0 bis 1, die beiden Extreme sind nicht enthalten.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-60f8667881e2c5a08eae2db3c3e04708_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\\in (0,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Mittelwert der Betaverteilung ist gleich Alpha dividiert durch die Summe Alpha plus Beta.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4530a8b72211111e8bec79b6388e00a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}X\\sim B(\\alpha,\\beta)\\\\[2ex] E[X]=\\cfrac{\\alpha}{\\alpha+\\beta}\\end{array} \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"81\" width=\"111\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Varianz der Betaverteilung kann mit der folgenden Formel berechnet werden:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-71c6ef40db833722e63c56cd763d6601_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}X\\sim B(\\alpha,\\beta)\\\\[2ex] Var(X)=\\cfrac{\\alpha\\cdot \\beta}{(\\alpha+\\beta+1)\\cdot (\\alpha+\\beta)^2}\\end{array} \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"82\" width=\"255\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> F\u00fcr Alpha- und Beta-Werte gr\u00f6\u00dfer als 1 kann der Beta-Verteilungsmodus leicht mit dem folgenden Ausdruck ermittelt werden:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-472cafc0cf9d1cf782206ddc7c9475d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Mo=\\cfrac{\\alpha-1}{\\alpha+\\beta-2}\\qquad \\alpha,\\beta>1&#8243; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;42&#8243; width=&#8220;225&#8243; style=&#8220;vertical-align: -16px;&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Dichtefunktion der Beta-Verteilung lautet wie folgt:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48f1f2a13df23d7c779bc37da4b49368_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X=x]=\\frac{x^{\\alpha-1}(1-x)^{\\beta-1}}{B(\\alpha,\\beta)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"218\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dabei ist B(\u03b1,\u03b2) die Beta-Funktion, die wie folgt definiert ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f4eb1d2659d9993f9d05a35cce63fc14_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle B(\\alpha,\\beta)=\\int_0^1x^{\\alpha-1}(1-x)^{\\beta-1}dx\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"248\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion der Betaverteilung ist:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-031b21ea3e2964d3ac4e6f222356d55b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X\\leq x]=\\frac{B(x;\\alpha,\\beta)}{B(\\alpha,\\beta)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"176\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dabei ist B(x;\u03b1,\u03b2) die unvollst\u00e4ndige Betafunktion, definiert als:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c64764f48f86e8f97df5ed1e8d7fbe6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle B(x;\\,a,b) = \\int_0^x t^{a-1}\\,(1-t)^{b-1}\\,dt\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"255\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Wenn X eine durch eine Beta-Verteilung definierte Variable ist, dann ist 1-X eine durch eine Beta-Verteilung definierte Variable, deren Alpha- und Beta-Parameter jeweils die Beta- und Alpha-Parameter der urspr\u00fcnglichen Beta-Verteilung sind.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c65dd399bb92ffe982784a6c1b6e5b0d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim B(\\alpha,\\beta) \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ 1-X\\sim B(\\beta,\\alpha)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"361\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Wenn die Alpha- und Beta-Parameter der Beta-Verteilung beide gleich 1 sind, entspricht die Verteilung einer gleichm\u00e4\u00dfigen Verteilung der Parameter 0 und 1.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-10010ad6c6959b44a8ae0fe4361b4034_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim B(1,1) \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ X\\sim U(0,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"321\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was Beta-Distribution ist und wof\u00fcr sie verwendet wird. 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