{"id":215,"date":"2023-08-04T01:54:33","date_gmt":"2023-08-04T01:54:33","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/chi-quadrat-verteilung\/"},"modified":"2023-08-04T01:54:33","modified_gmt":"2023-08-04T01:54:33","slug":"chi-quadrat-verteilung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/chi-quadrat-verteilung\/","title":{"rendered":"Chi-quadrat-verteilung"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was die Chi-Quadrat-Verteilung ist und wof\u00fcr sie verwendet wird. Dar\u00fcber hinaus finden Sie das Chi-Quadrat-Verteilungsdiagramm und seine Eigenschaften. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-distribucion-chi-cuadrado\"><\/span> Was ist die Chi-Quadrat-Verteilung?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die <strong>Chi-Quadrat-Verteilung<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren Symbol \u03c7\u00b2 ist. Genauer gesagt ist die Chi-Quadrat-Verteilung die Summe des Quadrats von <em>k<\/em> unabh\u00e4ngigen Zufallsvariablen mit einer Normalverteilung.<\/p>\n<p> Somit hat die Chi-Quadrat-Verteilung <em>k<\/em> Freiheitsgrade. Daher hat eine Chi-Quadrat-Verteilung so viele Freiheitsgrade wie die Summe der Quadrate der normalverteilten Variablen, die sie darstellt.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9ea0bf7a87071883ceae5e419bae9e71_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle X\\sim\\chi^2_k \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\ \\begin{array}{l}\\text{Distribuci\\'on chi-cuadrado}\\\\[2ex]\\text{con k grados de libertad}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"404\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Chi-Quadrat-Verteilung wird auch als <strong>Pearson-Verteilung<\/strong> bezeichnet.<\/p>\n<p> Es ist zu beachten, dass die Chi-Quadrat-Verteilung ein Sonderfall der Gamma-Verteilung ist.<\/p>\n<p> Die Chi-Quadrat-Verteilung wird h\u00e4ufig bei statistischen Schlussfolgerungen verwendet, beispielsweise beim Testen von Hypothesen und bei Konfidenzintervallen. Wir werden unten sehen, welche Anwendungen diese Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung sind. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"grafica-de-la-distribucion-chi-cuadrado\"><\/span> Chi-Quadrat-Verteilungsdiagramm<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Sobald wir die Definition der Chi-Quadrat-Verteilung sehen, werden wir mehrere Beispiele dieser Art von Verteilung grafisch dargestellt sehen. Unten sehen Sie also, wie das Wahrscheinlichkeitsdiagramm der Chi-Quadrat-Verteilung je nach Freiheitsgrad variiert. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/diagramme-de-distribution-du-chi-carre.png\" alt=\"Chi-Quadrat-Verteilungsdiagramm\" class=\"wp-image-4212\" width=\"670\" height=\"405\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Die Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung ist in der obigen Grafik dargestellt. Andererseits sieht das Diagramm der kumulativen Chi-Quadrat-Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion wie folgt aus: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/distribution-du-chi-carre-cumulatif.png\" alt=\"Diagramm der kumulativen Chi-Quadrat-Verteilung\" class=\"wp-image-4215\" width=\"670\" height=\"405\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> Chi-Quadrat-Verteilungstabelle <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-la-distribucion-chi-cuadrado\"><\/span> Merkmale der Chi-Quadrat-Verteilung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In diesem Abschnitt werden wir die wichtigsten Eigenschaften der Chi-Quadrat-Verteilung im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik sehen.<\/p>\n<ul>\n<li> Der Mittelwert einer Chi-Quadrat-Verteilung entspricht ihren Freiheitsgraden.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a7926aa60ec788064c47a5a34e641ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}X\\sim\\chi^2_k\\\\[2ex] E[X]=k\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"58\" width=\"73\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Varianz einer Chi-Quadrat-Verteilung entspricht dem Doppelten der Freiheitsgrade der Verteilung.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cffd659f19d8ed8260fcaf53dc6dd83f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}X\\sim\\chi^2_k\\\\[2ex] Var(X)=2\\cdot k\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"58\" width=\"116\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Modus einer Chi-Quadrat-Verteilung ist zwei Einheiten kleiner als ihre Freiheitsgrade, solange die Verteilung mehr als einen Freiheitsgrad hat.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c10387635aba8249e98afe0ca6f3ea9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Mo=k-2 \\qquad \\text{si } k\\geq 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"186\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung ist Null, wenn x=0. F\u00fcr Werte von x gr\u00f6\u00dfer als 0 wird die Dichtefunktion einer Chi-Quadrat-Verteilung jedoch durch die folgende Formel definiert:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f239003e822b2c8ba44146e94a94ad89_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X=x]= \\frac{(1\/2)^{k\/2}}{\\Gamma(k\/2)} x^{k\/2 - 1} e^{-x\/2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"254\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die kumulative Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung wird durch die folgende Formel bestimmt:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d39bc2eb949e628c1109501656da4b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X\\leq x]=\\frac{\\gamma(k\/2,x\/2)}{\\Gamma(k\/2)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"187\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Schiefekoeffizient der Chi-Quadrat-Verteilung ist die Quadratwurzel des Quotienten von acht dividiert durch die Anzahl der Freiheitsgrade der Verteilung.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c0113d9ec77836abace7fe06e18d90c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\sqrt{\\frac{8}{k}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Kurtosis der Chi-Quadrat-Verteilung wird mit dem folgenden Ausdruck berechnet:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2c6ae2842ea42a7ff31babce8eb778a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C=3+\\cfrac{12}{k}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes kann die Chi-Quadrat-Verteilung durch eine Normalverteilung angen\u00e4hert werden, wenn <em>k<\/em> gro\u00df genug ist. <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b2c7e4c59f39b5f1910f7a7806c08819_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{k \\to \\infty} \\frac{\\chi^2_k (x)}{ k } = N_{\\left(1,\\sqrt{2\/k}\\right)} (x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"210\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"aplicaciones-de-la-distribucion-chi-cuadrado\"><\/span> Anwendungen der Chi-Quadrat-Verteilung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die Chi-Quadrat-Verteilung hat in der Statistik viele verschiedene Anwendungen. Tats\u00e4chlich gibt es sogar den Chi-Quadrat-Test, mit dem die Unabh\u00e4ngigkeit zwischen Variablen und die G\u00fcte der Anpassung an eine theoretische Verteilung \u00fcberpr\u00fcft werden. Beispielsweise kann der Chi-Quadrat-Test verwendet werden, um zu bestimmen, ob die Daten einer Stichprobe einer Poisson-Verteilung entsprechen.<\/p>\n<p> Bei der linearen Regressionsanalyse wird die Chi-Quadrat-Verteilung auch verwendet, um den Mittelwert einer normalverteilten Grundgesamtheit und die Steigung der Studienlinie der linearen Regression zu sch\u00e4tzen.<\/p>\n<p> Schlie\u00dflich ist auch die Chi-Quadrat-Verteilung durch ihre Beziehung zur Snedecor-F-Verteilung an der Varianzanalyse beteiligt.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was die Chi-Quadrat-Verteilung ist und wof\u00fcr sie verwendet wird. Dar\u00fcber hinaus finden Sie das Chi-Quadrat-Verteilungsdiagramm und seine Eigenschaften. Was ist die Chi-Quadrat-Verteilung? 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