{"id":217,"date":"2023-08-04T01:16:05","date_gmt":"2023-08-04T01:16:05","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/verteilung-der-studierenden\/"},"modified":"2023-08-04T01:16:05","modified_gmt":"2023-08-04T01:16:05","slug":"verteilung-der-studierenden","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/verteilung-der-studierenden\/","title":{"rendered":"Studentische t-verteilung"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erl\u00e4utert, was die Student-t-Verteilung ist und wof\u00fcr sie verwendet wird. Dar\u00fcber hinaus wird das Diagramm der Student-t-Verteilung gezeigt und welche Merkmale diese Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung aufweist. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-distribucion-t-de-student\"><\/span> Wie ist die Studentenverteilung?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die <strong>Student-t-Verteilung<\/strong> ist eine in der Statistik weit verbreitete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Insbesondere wird die Student-t-Verteilung im Student-t-Test verwendet, um die Differenz zwischen den Mittelwerten zweier Stichproben zu bestimmen und Konfidenzintervalle festzulegen.<\/p>\n<p> Die Student-t-Verteilung wurde 1908 vom Statistiker William Sealy Gosset unter dem Pseudonym \u201eStudent\u201c entwickelt.<\/p>\n<p> Die Student-t-Verteilung wird durch die Anzahl der Freiheitsgrade definiert, die durch Subtrahieren einer Einheit von der Gesamtzahl der Beobachtungen ermittelt wird. Daher lautet die Formel zur Bestimmung der Freiheitsgrade der Student-t-Verteilung <em>\u03bd=n-1<\/em> . <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c805dc2d6ca050feb70dad99de53402_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}\\nu=n-1\\\\[2ex]X\\sim t_\\nu\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"52\" width=\"74\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"grafica-de-la-distribucion-t-de-student\"><\/span> T-Verteilungsdiagramm des Sch\u00fclers<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir nun die Definition der Student-t-Verteilung kennen, wollen wir uns ansehen, wie ihr Diagramm aussieht. Unten sehen Sie grafisch einige Beispiele f\u00fcr Student-t-Verteilungen mit unterschiedlichen Freiheitsgraden. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/graphique-de-distribution-t-des-etudiants.png\" alt=\"T-Verteilungsdiagramm des Sch\u00fclers\" class=\"wp-image-4266\" width=\"700\" height=\"420\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Aus dem Diagramm der Student-t-Verteilung lassen sich folgende Eigenschaften ableiten:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:14px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Die Student-t-Verteilung ist symmetrisch, zentriert bei 0 und hat eine Glockenform.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:14px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Die Student-t-Verteilung ist st\u00e4rker gestreut als die Normalverteilung, das hei\u00dft, die Kurve der Student-t-Verteilung ist breiter.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:14px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Je mehr Freiheitsgrade die Student-t-Verteilung hat, desto geringer ist ihre Streuung.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> In der obigen Grafik wurde die Dichtefunktion der Student-t-Verteilung gegen ihre Freiheitsgrade aufgetragen. Unten k\u00f6nnen Sie jedoch sehen, wie die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion der Student-t-Verteilung variiert: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/distribution-t-etudiante-cumulative.png\" alt=\"Diagramm der kumulativen t-Verteilung von Student\" class=\"wp-image-4267\" width=\"700\" height=\"420\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/schuler-t-verteilungstabelle\/\">Verteilungstabelle der Studierenden<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-la-distribucion-t-de-student\"><\/span> Merkmale der Student-t-Verteilung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachfolgend sind die wichtigsten Merkmale der Student-t-Verteilung dargestellt.<\/p>\n<ul>\n<li> Der Definitionsbereich der Student-t-Verteilung besteht aus reellen Zahlen.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd8ca9914bdf447012a1a16f7950ce95_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\\in (-\\infty, +\\infty)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"116\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> F\u00fcr Student-t-Verteilungen mit mehr als einem Freiheitsgrad ist der Mittelwert der Verteilung gleich 0.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4fed5eadcaa1162752aeedb7f8a0906_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}X\\sim t_\\nu\\\\[2ex] E[X]=0 \\qquad \\text{para }\\nu>1\\end{array} &#8220; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;55&#8243; width=&#8220;190&#8243; style=&#8220;vertical-align: 0px;&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Varianz der Student-t-Verteilung kann mit dem folgenden Ausdruck berechnet werden:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bfdcbc8a5f071a61e091b0ef6f686a16_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}X\\sim t_\\nu\\\\[2ex] Var(X)=\\cfrac{\\nu}{\\nu-2} \\qquad \\text{para }\\nu>2\\end{array} &#8220; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;75&#8243; width=&#8220;245&#8243; style=&#8220;vertical-align: 0px;&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Median und Modus der Student-t-Verteilung sind unabh\u00e4ngig von der Anzahl der Freiheitsgrade immer 0.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d90790fce0c987648c0b30216c82214_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}Me=0\\\\[2ex]Mo=0\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"50\" width=\"60\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Dichtefunktion der Student-t-Verteilung wird durch die folgende Formel definiert:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c0f1e97a8e407e8b9e2b00ba93aee0e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X=x]=\\frac{\\Gamma((\\nu+1)\/2)} {\\sqrt{\\nu\\pi}\\,\\Gamma(\\nu\/2)} (1+x^2\/\\nu)^{-(\\nu+1)\/2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"339\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der Student-t-Verteilung wird durch die folgende Formel definiert:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-da1e3bdf2d87c3a7dcc89c236958dcec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X\\leq x]=\\frac{1}{2} + x \\Gamma \\left( \\frac{\\nu+1}{2} \\right) \\cdot\\frac{\\,_2F_1 \\left ( \\frac{1}{2},\\frac{\\nu+1}{2};\\frac{3}{2};-\\frac{x^2}{\\nu} \\right)}{\\sqrt{\\pi\\nu}\\,\\Gamma \\left(\\frac{\\nu}{2}\\right)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"59\" width=\"402\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> F\u00fcr Student-t-Verteilungen mit Freiheitsgraden gr\u00f6\u00dfer als 3 ist der Asymmetriekoeffizient Null, da es sich um eine symmetrische Verteilung handelt.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6fea0ec5e37ef4db61fb44d6f5eba6fb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=0\\qquad \\text{para }\\nu>3&#8243; 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Tats\u00e4chlich gibt es sogar den Student-t-Test, der zum Testen von Hypothesen und Konfidenzintervallen verwendet wird.<\/p>\n<p> Somit erm\u00f6glicht uns die Student-t-Verteilung, die Differenz zwischen den Mittelwerten zweier Stichproben zu analysieren, genauer gesagt, sie wird verwendet, um zu bestimmen, ob zwei Stichproben signifikant unterschiedliche Mittelwerte aufweisen. In \u00e4hnlicher Weise wird der Student-t-Test verwendet, um herauszufinden, ob die aus einer linearen Regressionsanalyse erhaltene Linie eine Steigung aufweist oder nicht.<\/p>\n<p> Kurz gesagt, Anwendungen der Student-t-Verteilung basieren auf der Analyse von Datens\u00e4tzen, die theoretisch einer Normalverteilung folgen, aber die Gesamtzahl der Beobachtungen ist zu gering, um diese Art von Verteilung zu verwenden.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erl\u00e4utert, was die Student-t-Verteilung ist und wof\u00fcr sie verwendet wird. 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