{"id":222,"date":"2023-08-03T23:58:33","date_gmt":"2023-08-03T23:58:33","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/gammaverteilung\/"},"modified":"2023-08-03T23:58:33","modified_gmt":"2023-08-03T23:58:33","slug":"gammaverteilung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/gammaverteilung\/","title":{"rendered":"Gammaverteilung"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was die Gammaverteilung ist und wof\u00fcr sie verwendet wird. So finden Sie die Definition der Gammaverteilung, ihre Eigenschaften und wie ihre grafische Darstellung aussieht. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-distribucion-gamma\"><\/span> Was ist die Gammaverteilung?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die <strong>Gammaverteilung<\/strong> ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch zwei charakteristische Parameter, \u03b1 und \u03bb, definiert wird. Mit anderen Worten: Die Gammaverteilung h\u00e4ngt vom Wert ihrer beiden Parameter ab: \u03b1 ist der Formparameter und \u03bb der Skalenparameter.<\/p>\n<p> Das Symbol f\u00fcr die Gammaverteilung ist der griechische Gro\u00dfbuchstabe \u0393. Wenn also eine Zufallsvariable einer Gammaverteilung folgt, wird sie wie folgt geschrieben:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1b0ab2e724ffd74455d0907b39f4a598_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim \\Gamma(\\alpha,\\lambda)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Gammaverteilung kann auch mit dem Formparameter k = \u03b1 und dem inversen Skalenparameter \u03b8 = 1\/\u03bb parametrisiert werden. In allen F\u00e4llen sind die beiden Parameter, die die Gammaverteilung definieren, positive reelle Zahlen.<\/p>\n<p> Typischerweise wird die Gammaverteilung zur Modellierung rechtsschiefer Datens\u00e4tze verwendet, sodass auf der linken Seite des Diagramms eine gr\u00f6\u00dfere Datenkonzentration vorliegt. Beispielsweise wird die Gammaverteilung zur Modellierung der Zuverl\u00e4ssigkeit elektrischer Komponenten verwendet.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"grafica-de-la-distribucion-gamma\"><\/span> Gamma-Verteilungsdiagramm<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Der Graph der Gammaverteilung h\u00e4ngt von den Werten seiner charakteristischen Parameter ab. Unten sehen Sie, wie die Dichtefunktion der Gammaverteilung je nach Formparameter und Skalenparameter variiert. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/trace-de-distribution-gamma.png\" alt=\"Gammaverteilungsdiagramm\" class=\"wp-image-4536\" width=\"648\" height=\"388\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Andererseits k\u00f6nnen Sie unten die Grafik der kumulativen Wahrscheinlichkeitsfunktion der Gammaverteilung sehen: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/distribution-gamma-probabilite-cumulative.png\" alt=\"Diagramm der kumulativen Wahrscheinlichkeitsfunktion der Gamm-Verteilung\" class=\"wp-image-4537\" width=\"648\" height=\"388\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-la-distribucion-gamma\"><\/span> Eigenschaften der Gammaverteilung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wir werden dann sehen, was die Eigenschaften der Gammaverteilung sind.<\/p>\n<ul>\n<li> Der Graph der Gammaverteilung wird vollst\u00e4ndig durch seine beiden charakteristischen Parameter definiert: \u03b1 ist der Formparameter und \u03bb ist der Skalenparameter.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9640d41832cbcef7d0a7791c55ace57e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\alpha , \\lambda >0&#8243; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;16&#8243; width=&#8220;62&#8243; style=&#8220;vertical-align: -4px;&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Bereich der Gammaverteilung besteht nur aus positiven Zahlen.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f543506f97e1f9c5a56ccc4566a3febf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\\in (0,+\\infty)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Mittelwert der Gammaverteilung ist gleich dem Verh\u00e4ltnis zwischen dem Formparameter und dem Skalenparameter, also \u03b1\/\u03bb.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-326373413d0fe34ef96959dabe9c5cbe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"E[X]=\\cfrac{\\alpha}{\\lambda}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"78\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Varianz der Gammaverteilung entspricht dem Formparameter dividiert durch das Quadrat des Skalenparameters.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-693a549de92268ac21add32944199974_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Var(X)=\\cfrac{\\alpha}{\\lambda^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"107\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> F\u00fcr Werte von \u03b1 kleiner als 1 ist der Modus 0. Wenn \u03b1 jedoch gleich oder gr\u00f6\u00dfer als 1 ist, kann der Modus der Gammaverteilung mit der folgenden Formel berechnet werden:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9e2762af62f9c38870902ec0284ee07_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}Mo=0 \\qquad \\text{para } \\alpha<1\\\\[2ex]Mo=\\cfrac{\\alpha-1}{\\lambda} \\qquad \\text{para } \\alpha\\geq1\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"75\" width=\"214\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Formel f\u00fcr die Dichtefunktion der Gammaverteilung lautet:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41689ffee11808eab10064a7f3a77693_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)=\\frac{\\lambda(\\lambda x)^{\\alpha-1}e^{-\\lambda x}}{\\Gamma(\\alpha)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"168\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wobei \u0393 die Gammafunktion ist, die definiert ist als:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e244faebd1174cb6a56e4254bdaaec1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\Gamma(\\alpha)=\\int_0^\\infty t^{\\alpha-1}e^{-t}dt\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"169\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Formel f\u00fcr die kumulative Verteilung einer durch eine Gammaverteilung definierten Zufallsvariablen lautet wie folgt:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6bc3247a247daec5048c409319dc3943_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle F(x)=\\int_0^x\\frac{\\lambda(\\lambda y)^{\\alpha-1}e^{-\\lambda y}}{\\Gamma(\\alpha)}\\;dy\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"224\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Wenn der Formparameter \u03b1 gleich 1 ist, dann entspricht die Gammaverteilung einer Exponentialverteilung mit demselben Skalenparameter \u03bb.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-60ed376f92f0db2c22e19f85bb76f828_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim \\Gamma(1,\\lambda) \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ X\\sim \\text{Exp}(\\lambda)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"321\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Wenn der Skalenparameter \u03bb ein Durchschnitt ist, ist die Gammaverteilung ein Sonderfall der <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/chi-quadrat-verteilung\/\">Chi-Quadrat-Verteilung<\/a> .<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-efb733464c432d7d1b22ed7e5c534979_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle X\\sim \\Gamma\\left(\\frac{n}{2},\\frac{1}{2}\\right) \\text{con } n\\in \\mathbb{N}\\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ X\\sim \\chi_n^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"389\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was die Gammaverteilung ist und wof\u00fcr sie verwendet wird. 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