{"id":225,"date":"2023-08-03T22:40:38","date_gmt":"2023-08-03T22:40:38","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/weibull-verteilung\/"},"modified":"2023-08-03T22:40:38","modified_gmt":"2023-08-03T22:40:38","slug":"weibull-verteilung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/weibull-verteilung\/","title":{"rendered":"Weibull-verteilung"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was die Weibull-Verteilung ist und wof\u00fcr sie verwendet wird. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie die grafische Darstellung der Weibull-Verteilung und die Eigenschaften dieser Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung sehen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-distribucion-de-weibull\"><\/span> Was ist die Weibull-Verteilung?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die <strong>Weibull-Verteilung<\/strong> ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch zwei charakteristische Parameter definiert ist: den Formparameter \u03b1 und den Skalenparameter \u03bb.<\/p>\n<p> In der Statistik wird die Weibull-Verteilung haupts\u00e4chlich zur \u00dcberlebensanalyse verwendet. Ebenso hat die Weibull-Verteilung viele Anwendungen in verschiedenen Bereichen. Im Folgenden gehen wir detailliert auf die Verwendung der Weibull-Verteilung ein.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14be9904756b25df209befbae173e29e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim\\text{Weibull}(\\alpha,\\lambda)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"141\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Den Autoren zufolge l\u00e4sst sich die Weibull-Verteilung auch mit drei Parametern parametrisieren. Dann wird ein dritter Parameter namens Schwellenwert hinzugef\u00fcgt, der die Abszisse angibt, bei der das Verteilungsdiagramm beginnt.<\/p>\n<p> Die Weibull-Verteilung ist nach dem Schweden Waloddi Weibull benannt, der sie 1951 ausf\u00fchrlich beschrieb. Allerdings wurde die Weibull-Verteilung 1927 von Maurice Fr\u00e9chet entdeckt und erstmals 1933 von Rosin und Rammler angewendet. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"grafica-de-la-distribucion-de-weibull\"><\/span> Darstellung der Weibull-Verteilung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Sobald wir die Definition der Weibull-Verteilung kennengelernt haben, werden wir sehen, wie sich ihre grafische Darstellung abh\u00e4ngig von den Werten ihrer Parameter \u00e4ndert.<\/p>\n<p> Unten sehen Sie mehrere Beispiele daf\u00fcr, wie sich der Dichtefunktionsgraph der Weibull-Verteilung abh\u00e4ngig vom Wert des Formparameters und des Skalenparameters \u00e4ndert. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/graphique-de-distribution-de-weibull.png\" alt=\"Diagramm der Weibull-Verteilung\" class=\"wp-image-4592\" width=\"613\" height=\"403\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Wenn die Weibull-Verteilung zur Modellierung der Ausfallrate eines Systems als Funktion der Zeit verwendet wird, bedeutet der Wert des Formparameters \u03b1 Folgendes:<\/p>\n<ul>\n<li> \u03b1&lt;1: Die Ausfallrate nimmt mit der Zeit ab.<\/li>\n<li> \u03b1=1: Die Ausfallrate ist \u00fcber die Zeit konstant.<\/li>\n<li> \u03b1&gt;1: Die Ausfallrate steigt mit der Zeit.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Andererseits sehen Sie in der folgenden Grafik die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion der Weibull-Verteilung anhand ihrer charakteristischen Werte. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/distribution-de-probabilite-cumulative-weibull.png\" alt=\"kumulative Wahrscheinlichkeit der Weibull-Verteilung\" class=\"wp-image-4593\" width=\"613\" height=\"403\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-la-distribucion-de-weibull\"><\/span> Merkmale der Weibull-Verteilung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die Weibull-Verteilung weist folgende Merkmale auf:<\/p>\n<ul>\n<li> Die Weibull-Verteilung hat zwei charakteristische Parameter, die ihren Graphen definieren: den Formparameter \u03b1 und den Skalenparameter \u03bb. Beide Parameter sind positive reelle Zahlen.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c8794febbd607514546841a325490654_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}\\alpha >0\\\\[2ex]\\lambda >0\\\\[2ex]\\text{Weibull}(\\alpha,\\lambda)\\end{array}&#8220; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;92&#8243; width=&#8220;101&#8243; style=&#8220;vertical-align: 0px;&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Weibull-Verteilung akzeptiert nur positive Abszissenwerte.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f543506f97e1f9c5a56ccc4566a3febf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\\in (0,+\\infty)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Mittelwert der Weibull-Verteilung wird mit der folgenden Formel berechnet:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-58afc005f8ebaae21871a37b7cfdd7bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle E[X]=\\frac{1}{\\lambda}\\;\\Gamma\\left(1+\\frac{1}{\\alpha}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"166\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Andererseits lautet die Formel zum Ermitteln der Varianz der Weibull-Verteilung:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d8f2f9c09c6b73fa3e123f115e9d9530_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle Var(X)=\\frac{1}{\\lambda^2}\\left[\\Gamma\\left(1+\\frac{2}{\\alpha}\\right)-\\Gamma^2\\left(1+\\frac{1}{\\alpha}\\right)\\right]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"326\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Modus einer Zufallsvariablen, die einer Weibull-Verteilung mit \u03b1&gt;1 folgt, kann durch den folgenden Ausdruck bestimmt werden:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c5647358e9616b85e1a3291e54f4174_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle Mo=\\frac{1}{\\lambda}\\left(\\frac{\\alpha-1}{\\alpha} \\right)^{\\frac{1}{\\alpha}} \\quad \\text{para } \\alpha>1&#8243; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;50&#8243; width=&#8220;257&#8243; style=&#8220;vertical-align: -17px;&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Formel f\u00fcr die Dichtefunktion der Weibull-Verteilung lautet:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-68b68faeb4d3fb2655c6d26eb4225303_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X=x]=\\lambda\\alpha(\\lambda x)^{\\alpha-1}e^{-(\\lambda x)^\\alpha}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"232\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Ebenso lautet die Formel f\u00fcr die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion der Weibull-Verteilung:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d57cc3d761634b9239dcbbbfdd92638d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X\\leq x]=1- e^{-(\\lambda x)^\\alpha}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"180\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Asymmetriekoeffizient der Weibull-Verteilung wird durch Anwendung der folgenden Formel berechnet:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77648f1d0bee1b11d4ecd04234074ef7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\frac{\\displaystyle\\Gamma\\left(1+\\frac{3}{\\alpha}\\right)\\frac{|}{\\lambda^3}-3\\mu\\sigma^2-\\mu^3}{\\sigma^3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"62\" width=\"250\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Schlie\u00dflich lautet die Formel, die es erm\u00f6glicht, den Kurtosis-Koeffizienten der Weibull-Verteilung zu bestimmen:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bd1311dcff7b84f959830e21a067a85a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=\\frac{\\displaystyle\\frac{1}{\\lambda^4}\\Gamma \\left(1+\\frac{4}{\\alpha}\\right)-4\\gamma_{1}\\sigma^3\\mu-6\\mu^2\\sigma^2-\\mu^4}{\\sigma^4} \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"62\" width=\"332\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Gold <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b8fb16186e6b05715bbb4dba92c740e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\Gamma_i=\\Gamma\\left(1+\\frac{i}{\\alpha}\\right).\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"aplicaciones-de-la-distribucion-de-weibull\"><\/span> Anwendungen der Weibull-Verteilung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die Weibull-Verteilung hat viele Anwendungen, darunter:<\/p>\n<ul>\n<li> In der angewandten Statistik wird die Weibull-Verteilung zur \u00dcberlebensanalyse verwendet.<\/li>\n<li> Im Ingenieurwesen wird die Weibull-Verteilung zur Modellierung von Funktionen im Zusammenhang mit der Fertigungszeit verwendet.<\/li>\n<li> In Radarsystemen zur Simulation der Streuung des empfangenen Signals.<\/li>\n<li> Im Versicherungsbereich zur Modellierung des Schadensumfangs.<\/li>\n<li> In der Meteorologie beispielsweise zur Modellierung der H\u00e4ufigkeit unterschiedlicher Windgeschwindigkeiten.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was die Weibull-Verteilung ist und wof\u00fcr sie verwendet wird. 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