{"id":226,"date":"2023-08-03T22:21:12","date_gmt":"2023-08-03T22:21:12","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/logarithmische-normalverteilung\/"},"modified":"2023-08-03T22:21:12","modified_gmt":"2023-08-03T22:21:12","slug":"logarithmische-normalverteilung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/logarithmische-normalverteilung\/","title":{"rendered":"Lognormalverteilung"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erl\u00e4utert, was die Lognormalverteilung in der Statistik ist. Sie erfahren also, welche Eigenschaften die Lognormalverteilung und der Graph dieser Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung haben. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-distribucion-lognormal\"><\/span> Was ist die Lognormalverteilung?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die <strong>Lognormalverteilung<\/strong> oder <strong>Lognormalverteilung<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine Zufallsvariable definiert, deren Logarithmus einer Normalverteilung folgt.<\/p>\n<p> Wenn also die Variable X eine Normalverteilung hat, dann hat die Exponentialfunktion e <sup>x<\/sup> eine Lognormalverteilung.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-216d8f120f09a37cd8f797bb3b115a40_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim \\text{Lognormal}(\\mu,\\sigma^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"173\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Beachten Sie, dass die Lognormalverteilung nur verwendet werden kann, wenn die Variablenwerte positiv sind, da der Logarithmus eine Funktion ist, die nur ein positives Argument akzeptiert.<\/p>\n<p> Unter den verschiedenen Anwendungen der Lognormalverteilung in der Statistik unterscheiden wir die Verwendung dieser Verteilung zur Analyse von Finanzinvestitionen und zur Durchf\u00fchrung von Zuverl\u00e4ssigkeitsanalysen.<\/p>\n<p> Die Lognormalverteilung wird auch <strong>als Tinaut-Verteilung<\/strong> bezeichnet, manchmal auch <strong>als Lognormalverteilung<\/strong> oder <strong>Log-Normalverteilung<\/strong> geschrieben. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"grafica-de-la-distribucion-lognormal\"><\/span> Diagramm der Lognormalverteilung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir nun die Definition der Lognormalverteilung kennen, werden wir in diesem Abschnitt sehen, wie die grafische Darstellung der Lognormalverteilung abh\u00e4ngig von den Werten ihres arithmetischen Mittels und ihrer Standardabweichung variiert.<\/p>\n<p> Der Graph der Dichtefunktion der Lognormalverteilung sieht wie folgt aus: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/trace-de-distribution-lognormale.png\" alt=\"Diagramm der Lognormalverteilung\" class=\"wp-image-4563\" width=\"675\" height=\"406\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Andererseits sieht das kumulative Wahrscheinlichkeitsdiagramm der Lognormalverteilung wie folgt aus: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/distribution-de-probabilite-lognormale-cumulative.png\" alt=\"kumulatives Wahrscheinlichkeitsdiagramm der Lognormalverteilung\" class=\"wp-image-4564\" width=\"675\" height=\"404\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-la-distribucion-lognormal\"><\/span> Merkmale der Lognormalverteilung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die Lognormalverteilung weist die folgenden Merkmale auf:<\/p>\n<ul>\n<li> Die Lognormalverteilung wird durch den Wert zweier Parameter definiert, ihr arithmetisches Mittel \u03bc und ihre Varianz \u03c3 <sup>2<\/sup> .<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-216d8f120f09a37cd8f797bb3b115a40_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim \\text{Lognormal}(\\mu,\\sigma^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"173\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Bereich der Lognormalverteilung besteht aus positiven reellen Zahlen, da der Logarithmus keine negativen oder Nullwerte akzeptiert.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f543506f97e1f9c5a56ccc4566a3febf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\\in (0,+\\infty)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Erwartungswert einer logarithmischen Normalverteilung ist gleich der Zahl e, erh\u00f6ht um die Summe aus Mittelwert plus Varianz dividiert durch zwei.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-109a1024d530b2993db41f1d7a5a24c3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle E[X]=e^{\\mu+\\frac{\\sigma^2}{2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"29\" width=\"108\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Andererseits kann die Varianz einer Lognormalverteilung mit dem folgenden Ausdruck berechnet werden:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5afc17462bb71082888ab755626b853a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Var(X)=\\left(e^{\\sigma^2}-1\\right)\\cdot e^{2\\mu+\\sigma^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"223\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Modus der Lognormalverteilung entspricht der Zahl e erh\u00f6ht auf den Mittelwert der Verteilung.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21b2bd4c45dca8e305c9ee480d961f4d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Mo=e^\\mu\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"67\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Schiefekoeffizient der Lognormalverteilung kann durch Anwendung der folgenden Formel bestimmt werden:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2686fd41c4e28d5c396bf494229a63a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\left(e^{\\sigma^2}+2\\right)\\cdot\\sqrt{e^{\\sigma^2}-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"198\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Formel f\u00fcr die Dichtefunktion der Lognormalverteilung lautet:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25698732745689402d16ea353a072cc1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X=x]=\\frac{1}{\\sigma \\cdot x\\cdot \\sqrt{2 \\pi}}\\cdot \\exp\\left(-\\frac{(\\ln x-\\mu)^2}{2\\sigma^2}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"347\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Formel f\u00fcr die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion der Lognormalverteilung lautet:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59c2474703bad4805a6a44bd05cf92bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X\\leq x]=\\Phi\\left(\\frac{\\ln x-\\mu}{\\sigma}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"200\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Gold<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21f36758b04341c7980aa18b13ced720_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\Phi\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"12\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion einer <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/normale-standardverteilung\/\">Standardnormalverteilung<\/a> .<\/p>\n<ul>\n<li> Das arithmetische Mittel einer Lognormalverteilung ist gr\u00f6\u00dfer als der Wert ihres Medians.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96e66e8c60e4ce5e235c30258e4ecead_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mu > Me&#8220; title=&#8220;Rendered by 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