{"id":228,"date":"2023-08-03T21:54:17","date_gmt":"2023-08-03T21:54:17","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/pareto-gesetz\/"},"modified":"2023-08-03T21:54:17","modified_gmt":"2023-08-03T21:54:17","slug":"pareto-gesetz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/pareto-gesetz\/","title":{"rendered":"Pareto-verteilung"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was Pareto-Verteilung in der Statistik ist und wof\u00fcr sie verwendet wird. Sie k\u00f6nnen auch das Pareto-Verteilungsdiagramm und die Eigenschaften dieser Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung sehen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-distribucion-de-pareto\"><\/span> Was ist Pareto-Verteilung?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die <strong>Pareto-Verteilung<\/strong> ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der Statistik zur Modellierung des Pareto-Prinzips verwendet wird. Daher ist die Pareto-Verteilung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die einige wenige Werte aufweist, deren Eintrittswahrscheinlichkeit viel h\u00f6her ist als die der \u00fcbrigen Werte.<\/p>\n<p> Denken Sie daran, dass das Pareto-Gesetz, auch 80-20-Regel genannt, ein statistisches Prinzip ist, das besagt, dass die Ursache eines Ph\u00e4nomens gr\u00f6\u00dftenteils auf einen kleinen Teil der Bev\u00f6lkerung zur\u00fcckzuf\u00fchren ist.<\/p>\n<p> Die Pareto-Verteilung hat zwei charakteristische Parameter: den Skalenparameter x <sub>m<\/sub> und den Formparameter \u03b1.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c13a66a388e0a7e26781a0e8d9645f40_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim \\text{Pareto}(\\alpha,x_m)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"146\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Urspr\u00fcnglich wurde die Pareto-Verteilung verwendet, um die Verm\u00f6gensverteilung innerhalb der Bev\u00f6lkerung zu beschreiben, da der Gro\u00dfteil davon auf einen kleinen Teil der Bev\u00f6lkerung zur\u00fcckzuf\u00fchren war. Doch derzeit hat die Pareto-Verteilung viele Anwendungen, beispielsweise in der Qualit\u00e4tskontrolle, in der Wirtschaft, in der Wissenschaft, im sozialen Bereich usw.<\/p>\n<p> Die Pareto-Verteilung ist nach dem \u00d6konomen Vilfredo Pareto benannt, der die Verteilung formuliert hat. Am bekanntesten ist er jedoch f\u00fcr das Pareto-Diagramm. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/pareto-diagramm\/\">Was ist das Pareto-Diagramm?<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"grafica-de-la-distribucion-de-pareto\"><\/span> Pareto-Verteilungstabelle<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir nun die Definition der Pareto-Verteilung kennen, schauen wir uns einige Beispiele f\u00fcr Pareto-Verteilungen an, die grafisch dargestellt werden.<\/p>\n<p> Unten sehen Sie also, wie der Graph der Dichtefunktion der Pareto-Verteilung in Abh\u00e4ngigkeit von seinen charakteristischen Werten aussieht: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/graphique-de-distribution-de-pareto.png\" alt=\"Pareto-Verteilungsdiagramm\" class=\"wp-image-4774\" width=\"587\" height=\"413\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Beachten Sie, dass der Bereich der Pareto-Verteilung vom Wert x <sub>m<\/sub> bis +\u221e reicht, weshalb die Dichtefunktion nicht vor dem Wert x <sub>m<\/sub> existiert.<\/p>\n<p> Andererseits sieht der Graph der kumulativen Wahrscheinlichkeitsfunktion der Pareto-Verteilung wie folgt aus: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/distribution-de-probabilite-pareto-cumulative.png\" alt=\"kumulative Wahrscheinlichkeit der Pareto-Verteilung\" class=\"wp-image-4775\" width=\"589\" height=\"414\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-la-distribucion-de-pareto\"><\/span> Merkmale der Pareto-Verteilung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachfolgend sind die wichtigsten Merkmale der Pareto-Verteilung im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik aufgef\u00fchrt.<\/p>\n<ul>\n<li> Die Pareto-Verteilung hat zwei charakteristische Parameter, die ihre Kurve definieren: den Skalenparameter x <sub>m<\/sub> und den Formparameter \u03b1.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c13a66a388e0a7e26781a0e8d9645f40_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim \\text{Pareto}(\\alpha,x_m)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"146\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Bereich der Pareto-Verteilung besteht aus allen reellen Zahlen vom Skalenparameter bis plus Unendlich.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c720ee182b49a794ed2862dd83a10ca9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\\in [x_m,+\\infty)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Wenn \u03b1 gr\u00f6\u00dfer als 1 ist, ist der Mittelwert der Pareto-Verteilung gleich dem Produkt aus \u03b1 mal x <sub>m<\/sub> und \u03b1 minus 1.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d26513868f9ed6fa45ab0fde0030884_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"E[X]=\\cfrac{\\alpha\\cdot x_m}{\\alpha-1}\\quad\\text{para } \\alpha>1&#8243; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;34&#8243; width=&#8220;214&#8243; style=&#8220;vertical-align: -12px;&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Varianz der Pareto-Verteilung h\u00e4ngt von den beiden charakteristischen Parametern der Verteilung ab und wird mit der folgenden Formel berechnet:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6120976b3586b76661d13bb9fdd5375d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle Var(X)=\\frac{x_\\mathrm{m}^2\\cdot \\alpha}{(\\alpha-1)^2\\cdot(\\alpha-2)}\\quad \\text{para }\\alpha>2&#8243; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;44&#8243; width=&#8220;323&#8243; style=&#8220;vertical-align: -17px;&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Median der Pareto-Verteilung kann mit dem folgenden Ausdruck bestimmt werden:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0dc2c772a0a0662ad05f8b22c3cf1ba1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle Me=x_\\mathrm{m}\\cdot \\sqrt[\\alpha]{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"113\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Modus der Pareto-Verteilung entspricht dem Skalenparameter x <sub>m<\/sub> der Verteilung.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-494f2f6e64851f90c504c989d93e22dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Mo=x_m\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Formel f\u00fcr die Dichtefunktion der Pareto-Verteilung lautet:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1e182771cfe3bf9a145a2ee59b9c7eeb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X=x]=\\frac{\\alpha\\cdot x_m^\\alpha}{x^{\\alpha+1}}\\quad\\text{para }x\\geq x_m\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"262\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Ebenso lautet die Formel f\u00fcr die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion der Pareto-Verteilung:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-480adc7841b7c72cb4bfecb446ed3fab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X\\leq x]=1-\\left(\\frac{x_\\mathrm{m}}{x}\\right)^\\alpha\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Asymmetriekoeffizient der Pareto-Verteilung h\u00e4ngt nur vom Formparameter \u03b1 ab und sein Ausdruck lautet:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-98e7ba5f5d32988033c0f33d6af1bef8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\frac{2(1+\\alpha)}{\\alpha-3}\\,\\sqrt{\\frac{\\alpha-2}{\\alpha}}\\quad\\text{para }\\alpha>3&#8243; 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