{"id":230,"date":"2023-08-03T20:59:59","date_gmt":"2023-08-03T20:59:59","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/negative-1-binomialverteilung\/"},"modified":"2023-08-03T20:59:59","modified_gmt":"2023-08-03T20:59:59","slug":"negative-1-binomialverteilung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/negative-1-binomialverteilung\/","title":{"rendered":"Negative binomialverteilung"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was die negative Binomialverteilung ist und wof\u00fcr sie verwendet wird. Au\u00dferdem finden Sie die Formel f\u00fcr die negative Binomialverteilung, ein konkretes Beispiel und die Eigenschaften dieser Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung. Schlie\u00dflich k\u00f6nnen Sie mit einem Online-Rechner jede negative Binomialverteilungswahrscheinlichkeit berechnen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-distribucion-binomial-negativa\"><\/span> Was ist die negative Binomialverteilung?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die <strong>negative Binomialverteilung<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Bernoulli-Versuche beschreibt, die erforderlich sind, um eine bestimmte Anzahl positiver Ergebnisse zu erhalten.<\/p>\n<p> Daher weist eine negative Binomialverteilung zwei charakteristische Parameter auf: <em>r<\/em> ist die Anzahl der gew\u00fcnschten erfolgreichen Ergebnisse und <em>p<\/em> ist die Erfolgswahrscheinlichkeit f\u00fcr jedes durchgef\u00fchrte Bernoulli-Experiment.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-171122de529a1c006bc46e8d89176016_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim \\text{BN}(r,p)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Denken Sie daran, dass ein Bernoulli-Test ein Experiment ist, das zwei m\u00f6gliche Ergebnisse hat: \u201eErfolg\u201c und \u201eMisserfolg\u201c. Wenn also die Wahrscheinlichkeit des \u201eErfolgs\u201c <em>p<\/em> ist, ist die Wahrscheinlichkeit des \u201eMisserfolgs\u201c <em>q=1-p<\/em> .<\/p>\n<p> Somit definiert eine negative Binomialverteilung einen Prozess, bei dem so viele Bernoulli-Versuche durchgef\u00fchrt werden, wie n\u00f6tig sind, um positive <em>Ergebnisse<\/em> zu erhalten. Dar\u00fcber hinaus sind alle diese Bernoulli-Versuche unabh\u00e4ngig und haben eine konstante <em>Erfolgswahrscheinlichkeit<\/em> .<\/p>\n<p> Beispielsweise gibt eine Zufallsvariable, die einer negativen Binomialverteilung folgt, an, wie oft ein W\u00fcrfel gew\u00fcrfelt werden muss, bis die Zahl 6 dreimal gew\u00fcrfelt wird.<\/p>\n<p> Der Unterschied zwischen einer negativen Binomialverteilung und einer Binomialverteilung besteht darin, dass die negative Binomialverteilung z\u00e4hlt, wie oft es dauert, bis eine bestimmte Anzahl erfolgreicher Ergebnisse erzielt wird, w\u00e4hrend die Binomialverteilung die Anzahl erfolgreicher F\u00e4lle in einer Reihe von Bernoulli-Tests z\u00e4hlt. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/binomialverteilung-1\/\">Was ist die Binomialverteilung?<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-distribucion-binomial-negativa\"><\/span> Negative Binomialverteilungsformel<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Bei gegebenen Parametern <em>r, p, x<\/em> wird die Wahrscheinlichkeit einer negativen Binomialverteilung berechnet, indem die kombinatorische Zahl von <em>x-1<\/em> in <em>xr<\/em> mit <em>(1-p) <sup>xr<\/sup><\/em> mit <em>p <sup>r<\/sup><\/em> multipliziert wird.<\/p>\n<p> Die <strong>Formel zur Berechnung einer negativen Binomialverteilungswahrscheinlichkeit<\/strong> lautet also: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/formule-de-distribution-binomiale-negative.png\" alt=\"Negative Binomialverteilungsformel\" class=\"wp-image-4813\" width=\"318\" height=\"319\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> \ud83d\udc49 <u style=\"text-decoration-color:#FF8A05;\">Mit dem Rechner unten k\u00f6nnen Sie die Wahrscheinlichkeit einer Variablen berechnen, die der negativen Binomialverteilung folgt.<\/u> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicio-resuelto-de-la-distribucion-binomial-negativa\"><\/span> \u00dcbung zur negativen Binomialverteilung gel\u00f6st<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<ul>\n<li> Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine M\u00fcnze, wenn man sie acht Mal wirft, beim achten Mal ein viertes Mal \u201eKopf\u201c ergibt?<\/li>\n<\/ul>\n<p> Zuerst m\u00fcssen wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, beim M\u00fcnzwurf \u201eKopf\u201c zu bekommen. In diesem Fall haben wir nur ein positives Ergebnis (Kopf) von zwei m\u00f6glichen Ergebnissen (Kopf und Zahl), daher ist die Erfolgswahrscheinlichkeit:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bdceac6409b69d142f23801ec85e2691_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"p=\\cfrac{1}{2}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Somit folgt die Zufallsvariable in diesem Problem einer negativen Binomialverteilung mit r=4 und p=0,5. Daher verwenden wir die negative Binomialverteilungsformel, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, die die \u00dcbung von uns verlangt. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bc56100604e5889a6d169c0395f19ebe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P[X=x]&amp;=\\begin{pmatrix}x-1\\\\ x-r\\end{pmatrix}\\cdot (1-p)^{x-r}\\cdot p^r\\\\[2ex]\\displaystyle P[X=8]&amp;=\\begin{pmatrix}8-1\\\\ 8-4\\end{pmatrix}\\cdot (1-0,5)^{8-4}\\cdot 0,5^4\\\\[2ex] P[X=8]&amp;=0,1367\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"151\" width=\"316\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-la-distribucion-binomial-negativa\"><\/span> Merkmale der negativen Binomialverteilung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachfolgend sind die wichtigsten Merkmale der negativen Binomialverteilung aufgef\u00fchrt.<\/p>\n<ul>\n<li> Die negative Binomialverteilung wird durch zwei charakteristische Parameter definiert: <em>r<\/em> ist die Anzahl der gew\u00fcnschten erfolgreichen Ergebnisse und <em>p<\/em> ist die Erfolgswahrscheinlichkeit f\u00fcr jedes durchgef\u00fchrte Bernoulli-Experiment.<\/li>\n<\/ul>\n<pre class=\"ql-errors\"> *** QuickLaTeX cannot compile formula:\n\\begin{array}{c}r\\in \\mathbb{Z}^+ \\\\[2ex] 0 &lt;ul&gt;&lt;li&gt; The mean of the negative binomial distribution is equal to &lt;em&gt;r&lt;\/em&gt; multiplied by &lt;em&gt;(1-p)&lt;\/em&gt; and divided by &lt;em&gt;p&lt;\/em&gt; . Thus the formula which makes it possible to calculate the mean of a negative binomial distribution is the following: &lt;\/li&gt;&lt;\/ul&gt;[latex]E[X]=\\cfrac{r\\cdot (1-p)}{p}\n\n*** Error message:\nMissing $ inserted.\nleading text: \\begin{array}{c}\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...The mean of the binomial distribution born\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ... the negative binomial distribution is\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...negative binomial distribution is equal to\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...gative is equal to &lt;em&gt;r&lt;\/em&gt; multiplied\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...m&gt; multiplied by &lt;em&gt;(1-p)&lt;\/em&gt; and divided\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...the mean of a binomial distribution born\n\\begin{array} on input line 8 ended by \\end{document}.\n\n<\/pre>\n<ul>\n<li> Die Varianz einer negativen Binomialverteilung ist gleich <em>r<\/em> multipliziert mit <em>(1-p)<\/em> dividiert durch <em>p <sup>2<\/sup><\/em> .<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c82d66018d0715f20318f383cf7c04c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Var(X)=\\cfrac{r\\cdot (1-p)}{p^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"163\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Wenn der Parameter <em>r<\/em> gr\u00f6\u00dfer als 1 ist, kann der Modus einer negativen Binomialverteilung mit der folgenden Formel berechnet werden:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-600d3f94b3cd3927f264450bcd043a86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lfloor \\frac{(r-1)(1-p)}{p}\\rfloor\\quad \\text{para }r>1&#8243; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;42&#8243; width=&#8220;221&#8243; style=&#8220;vertical-align: -16px;&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Massenfunktion, die es erm\u00f6glicht, eine Wahrscheinlichkeit einer negativen Binomialverteilung zu bestimmen, lautet wie folgt:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-beafc8c08e7aad51059349dfd2addd5f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P[X=x]=\\begin{pmatrix}x-1\\\\ x-r\\end{pmatrix}\\cdot (1-p)^{x-r}\\cdot p^r\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"284\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Schiefekoeffizient einer negativen Binomialverteilung wird mit dem folgenden Ausdruck berechnet:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9bc0a97cdf77d4dd439c71cf8637e53c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\frac{2-p}{\\sqrt{r\\,(1-p)}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Kurtosis einer negativen Binomialverteilung kann mit der folgenden Formel ermittelt werden:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-510199601f8ac60aa64008f00d959562_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=\\frac{6}{r} + \\frac{p^2}{r\\,(1-p)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"139\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Wenn der Parameter <em>r<\/em> gleich 1 ist, liegt ein Fall einer <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/geometrische-verteilung\/\">geometrischen Verteilung<\/a> vor. <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24bb5ef017a69a1a9de1e07f32412fcc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r=1 \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\quad X\\sim \\text{Geometrica}(p)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"350\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"calculadora-de-la-distribucion-binomial-negativa\"><\/span> Rechner f\u00fcr negative Binomialverteilung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Geben Sie die Werte der Parameter <em>r, p, x<\/em> in den folgenden Rechner ein, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Sie m\u00fcssen Zahlen mit dem Punkt als Dezimaltrennzeichen eingeben, zum Beispiel 0,50.<\/p>\n<form action=\"\" method=\"post\">\n<div style=\"margin-bottom:20px; margin-left:5%\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u27a4<\/strong><\/span> Anzahl erfolgreicher Ergebnisse <span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u2192<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2060a909f2905bcbe83f8fe9152c2284_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r = \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p><\/span> <input name=\"r\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:5px;  padding:7px; color:#000000; background-color:#EBF5FB; width:60px\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce el valor de r aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/div>\n<div style=\"margin-bottom:20px; margin-left:5%\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u27a4<\/strong><\/span> Erfolgswahrscheinlichkeit jedes Experiments <span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u2192<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e67f693705a2e492d8981f0ed1387c3f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"p = \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"28\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p><\/span> <input name=\"prob\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:5px;  padding:7px; color:#000000; background-color:#EBF5FB; width:60px\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce el valor de p aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/div>\n<div style=\"margin-bottom:20px; margin-left:5%\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u27a4<\/strong><\/span> Gesamtzahl der durchgef\u00fchrten Experimente <span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u2192<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04ae6e91e4423afa96cc9b717c007c88_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x = \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"28\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p><\/span> <input name=\"xigual\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:5px;  padding:7px; color:#000000; background-color:#EBF5FB; width:60px\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce el valor de x aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/div>\n<div style=\"text-align:center\"><input align=\"center\" style=\"border-radius:30px; margin: 20px\" type=\"submit\" name=\"submit\" value=\"Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit\"><\/div>\n<\/form>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was die negative Binomialverteilung ist und wof\u00fcr sie verwendet wird. 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