{"id":234,"date":"2023-08-03T19:36:43","date_gmt":"2023-08-03T19:36:43","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/exponentialverteilung-1\/"},"modified":"2023-08-03T19:36:43","modified_gmt":"2023-08-03T19:36:43","slug":"exponentialverteilung-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/exponentialverteilung-1\/","title":{"rendered":"Exponentialverteilung"},"content":{"rendered":"

In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was die Exponentialverteilung in der Statistik ist und wof\u00fcr sie verwendet wird. Ebenso finden Sie die Eigenschaften der Exponentialverteilung sowie ihre Formeln, ihren Graphen und eine gel\u00f6ste \u00dcbung. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie jede beliebige Wahrscheinlichkeit mit einem Online-Exponentialverteilungsrechner berechnen. <\/p>\n

<\/span> Was ist Exponentialverteilung?<\/span><\/h2>\n

Die Exponentialverteilung<\/strong> ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die zur Modellierung der Wartezeit f\u00fcr das Auftreten eines Zufallsph\u00e4nomens verwendet wird.<\/p>\n

Genauer gesagt erm\u00f6glicht uns die Exponentialverteilung, die Wartezeit zwischen zwei Ereignissen zu beschreiben, die einer Poisson-Verteilung folgt. Daher ist die Exponentialverteilung eng mit der Poisson-Verteilung verwandt. <\/p>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> Was ist die Poisson-Verteilung?<\/a><\/div>\n

Die Exponentialverteilung hat einen charakteristischen Parameter, der durch den griechischen Buchstaben \u03bb dargestellt wird und angibt, wie oft das untersuchte Ereignis in einem bestimmten Zeitraum voraussichtlich auftritt.<\/p>\n<\/p>\n

\"X\\sim<\/p>\n<\/p>\n

Ebenso wird die Exponentialverteilung auch zur Modellierung der Zeit bis zum Auftreten eines Ausfalls verwendet. Die Exponentialverteilung hat daher mehrere Anwendungen in der Zuverl\u00e4ssigkeits- und \u00dcberlebenstheorie. <\/p>\n

<\/span> Beispiele f\u00fcr Exponentialverteilungen<\/span><\/h2>\n

Nachdem wir nun die Definition der Exponentialverteilung kennen, schauen wir uns einige Beispiele dieser Art von Verteilung an, um das Konzept besser zu verstehen.<\/p>\n

Beispiele f\u00fcr Exponentialverteilung:<\/u><\/strong><\/p>\n

    \n
  1. Die Zeit, die zwischen zwei Anrufen in einem Callcenter vergeht.<\/span><\/li>\n
  2. Die Zeit, die eine Person warten muss, bis ein kostenloses Taxi auf einer bestimmten Stra\u00dfe vorbeif\u00e4hrt.<\/span><\/li>\n
  3. Die Wartezeit, bis ein neuer Kunde ein Gesch\u00e4ft betritt.<\/span><\/li>\n
  4. Die Zeit, die zwischen dem Aufrufen einer Webseite durch zwei verschiedene Benutzer vergeht.<\/span><\/li>\n
  5. Auf einem Flughafen vergeht die Zeit zwischen dem Start eines Flugzeugs und dem Abflug eines anderen.<\/span> <\/li>\n<\/ol>\n

    <\/span> Exponentielle Verteilungsformel<\/span><\/h2>\n

    Die Dichtefunktionsformel, die die Berechnung einer Exponentialverteilungswahrscheinlichkeit definiert, ist gleich \u03bb multipliziert mit der Zahl e hoch negativ \u03bb mal x.<\/p>\n

    Mit anderen Worten lautet die Formel zur Berechnung einer Exponentialverteilungswahrscheinlichkeit<\/strong> wie folgt: <\/p>\n

    \"Exponentialverteilungsformel\"<\/figure>\n

    \ud83d\udc49 Mit dem Rechner unten k\u00f6nnen Sie die Wahrscheinlichkeit einer Variablen berechnen, die der Exponentialverteilung folgt.<\/u><\/p>\n

    Andererseits lautet die Formel zur Berechnung einer kumulativen Wahrscheinlichkeit der Exponentialverteilung wie folgt: <\/p>\n<\/p>\n

    \"P[X\\leq<\/p>\n<\/p>\n

    <\/span> Exponentielles Verteilungsdiagramm<\/span><\/h2>\n

    In diesem Abschnitt sehen Sie die grafische Darstellung der Dichtefunktion und der Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung.<\/p>\n

    Unten sehen Sie, wie sich der Graph der Dichtefunktion der Exponentialverteilung in Abh\u00e4ngigkeit vom Wert des Parameters \u03bb \u00e4ndert. <\/p>\n

    \"Exponentielles<\/figure>\n

    Ebenso h\u00e4ngt die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion der Exponentialverteilung auch vom Wert des Parameters \u03bb ab, wie Sie in der folgenden Grafik sehen k\u00f6nnen: <\/p>\n

    \"Diagramm<\/figure>\n

    <\/span> \u00dcbung zur Exponentialverteilung gel\u00f6st<\/span><\/h2>\n
      \n
    • Im Durchschnitt greifen \u03bb=1 Benutzer\/Minute auf eine bestimmte Webseite zu. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zeit zwischen dem Betreten zweier Benutzer 3 Minuten betr\u00e4gt? Und die Wahrscheinlichkeit, dass sie gleich oder kleiner als 2 Minuten ist?<\/li>\n<\/ul>\n

      Die Verteilung, die die Zufallsvariable dieses Problems definiert, ist eine Exponentialverteilung, da wir die Zeit untersuchen, die vom Eintreten eines Ereignisses (dem Eintrag eines Benutzers auf der Webseite) bis zum erneuten Auftreten desselben Ereignisses vergeht.<\/p>\n<\/p>\n

      \"X\\sim<\/p>\n<\/p>\n

      Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass zwischen dem Eintrag zweier verschiedener Benutzer eine Zeitspanne von drei Minuten vergeht, m\u00fcssen wir daher die Dichtefunktionsformel anwenden (siehe oben):<\/p>\n<\/p>\n

      \"\\begin{aligned}P[X=x]&=\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

      Um andererseits eine kumulative Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, m\u00fcssen wir die Verteilungsfunktionsformel der Exponentialverteilung verwenden: <\/p>\n<\/p>\n

      \"\\begin{aligned}P[X\\leq<\/p>\n<\/p>\n

      <\/span> Merkmale der Exponentialverteilung<\/span><\/h2>\n

      Die Exponentialverteilung weist folgende Merkmale auf:<\/p>\n

        \n
      • Die Exponentialverteilung hat einen charakteristischen Parameter, \u03bb, der angibt, wie oft das untersuchte Ph\u00e4nomen in einem bestimmten Zeitraum voraussichtlich auftritt.<\/li>\n<\/ul>\n

        \"X\\sim<\/p>\n<\/p>\n

          \n
        • Die Exponentialverteilung kann keinen negativen Wert annehmen, daher besteht der Bereich der Exponentialverteilung aus allen reellen Zahlen gr\u00f6\u00dfer oder gleich Null.<\/li>\n<\/ul>\n

          \"x\\in<\/p>\n<\/p>\n

            \n
          • Der Mittelwert der Exponentialverteilung ist gleich eins dividiert durch den charakteristischen Parameter \u03bb.<\/li>\n<\/ul>\n

            \"E[X]=\\cfrac{1}{\\lambda}\"<\/p>\n<\/p>\n

              \n
            • Die Varianz der Exponentialverteilung ist das Quadrat ihres Mittelwerts, daher ist die Varianz der Exponentialverteilung \u00e4quivalent zu eins \u00fcber dem Koeffizienten \u03bb im Quadrat.<\/li>\n<\/ul>\n

              \"Var(X)=\\cfrac{1}{\\lambda^2<\/p>\n<\/p>\n

                \n
              • Unabh\u00e4ngig vom Wert von \u03bb ist der Asymmetriekoeffizient der Exponentialverteilung immer gleich 2.<\/li>\n<\/ul>\n

                \"A=2\"<\/p>\n<\/p>\n

                  \n
                • Ebenso ist der Kurtosis-Koeffizient jeder Exponentialverteilung immer gleich 9.<\/li>\n<\/ul>\n

                  \"C=9\"<\/p>\n<\/p>\n

                    \n
                  • Die Formel f\u00fcr die Dichtefunktion der Exponentialverteilung lautet:<\/li>\n<\/ul>\n

                    \"P[X=x]=\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

                      \n
                    • W\u00e4hrend die Formel f\u00fcr die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion der Exponentialverteilung wie folgt lautet:<\/li>\n<\/ul>\n

                      \"P[X\\leq<\/p>\n<\/p>\n

                        \n
                      • Die Exponentialverteilung ist eine der wenigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit der Eigenschaft \u201eNicht gen\u00fcgend Speicher\u201c. Diese Eigenschaft bedeutet, dass das Eintreten eines fr\u00fcheren Ereignisses keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit hat, dass dieses Ereignis in der Zukunft eintritt. Beispielsweise h\u00e4ngt bei einer Exponentialverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass ein neuer Benutzer in weniger als einer Minute auf eine Webseite zugreift, nicht davon ab, ob ein Benutzer sie gerade betreten hat oder seitdem kein Benutzer sie betreten hat. mehr als zehn Minuten. <\/li>\n<\/ul>\n

                        \"P[Xx+y|X>y]=P[X>x]“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“19″ width=“254″ style=“vertical-align: -5px;“><\/p>\n<\/p>\n

                        <\/span> Exponentialverteilungsrechner<\/span><\/h2>\n

                        Geben Sie den Wert des Parameters \u03bb<\/em> und den Wert von x<\/em> in den folgenden Rechner ein, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Sie m\u00fcssen die Wahrscheinlichkeit ausw\u00e4hlen, die Sie berechnen m\u00f6chten, und die Zahlen mit dem Punkt als Dezimaltrennzeichen eingeben, zum Beispiel 0,50.<\/p>\n

                        \n
                        \u27a4<\/strong><\/span> Parameter der Exponentialverteilung \u2192<\/strong><\/span><\/p>\n

                        \"\\lambda<\/p>\n

                        <\/span> <\/div>\n

                        \u27a4<\/strong><\/span> Wahrscheinlichkeit zur Berechnung: <\/div>\n
                        <\/p>\n

                        \"X=\"<\/p>\n

                        <\/div>\n

                        <\/p>\n

                        \"X\\leq\"<\/p>\n

                        <\/div>\n

                        <\/p>\n

                        \"X\\geq\"<\/p>\n

                        <\/div>\n

                        <\/p>\n

                        \"\\leq<\/p>\n

                        <\/div>\n

                        <\/div>\n<\/form>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

                        In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was die Exponentialverteilung in der Statistik ist und wof\u00fcr sie verwendet wird. Ebenso finden Sie die Eigenschaften der Exponentialverteilung sowie ihre Formeln, ihren Graphen und eine gel\u00f6ste \u00dcbung. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie jede beliebige Wahrscheinlichkeit mit einem Online-Exponentialverteilungsrechner berechnen. Was ist Exponentialverteilung? 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