Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung<\/strong> ist die Verteilung, die die Wahrscheinlichkeiten einer diskreten Zufallsvariablen<\/a> definiert. Daher kann eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung nur eine endliche Anzahl von Werten (normalerweise ganze Zahlen) annehmen.<\/p>\n Beispielsweise sind die Binomialverteilung, die Poisson-Verteilung und die hypergeometrische Verteilung diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.<\/p>\n In einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung ist jedem Wert der diskreten Variablen, die (x i<\/sub> ) darstellt, ein Wahrscheinlichkeitswert (p i<\/sub> ) zugeordnet, der zwischen 0 und 1 liegt. Somit ergibt die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer diskreten Verteilung das Ergebnis Eins . <\/p>\n<\/p>\n Nachdem wir nun die Definition einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung kennen, werden wir uns einige Beispiele dieser Art von Verteilung ansehen, um das Konzept besser zu verstehen.<\/p>\n Beispiele f\u00fcr diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen:<\/u><\/strong><\/p>\n Die Haupttypen diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/strong> sind:<\/p>\n Jeder Typ einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung wird im Folgenden ausf\u00fchrlich erl\u00e4utert. <\/p>\n Eine diskrete Gleichverteilung<\/strong> ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der alle Werte gleich wahrscheinlich sind, d. h. in einer diskreten Gleichverteilung haben alle Werte die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit.<\/p>\n Beispielsweise kann der Wurf eines W\u00fcrfels mit einer diskreten Gleichverteilung definiert werden, da alle m\u00f6glichen Ergebnisse (1, 2, 3, 4, 5 oder 6) die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben.<\/p>\n Im Allgemeinen verf\u00fcgt eine diskrete Gleichverteilung \u00fcber zwei charakteristische Parameter, a<\/em> und b<\/em> , die den Bereich m\u00f6glicher Werte definieren, den die Verteilung annehmen kann. Wenn also eine Variable durch eine diskrete Gleichverteilung definiert ist, wird sie als Uniform(a,b)<\/em> geschrieben.<\/p>\n<\/p>\n Die diskrete Gleichverteilung kann zur Beschreibung von Zufallsexperimenten verwendet werden, denn wenn alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, bedeutet dies, dass das Experiment zuf\u00e4llig ist. <\/p>\n Die Bernoulli-Verteilung<\/strong> , auch dichotome Verteilung<\/strong> genannt, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine diskrete Variable darstellt, die nur zwei Ergebnisse haben kann: \u201eErfolg\u201c oder \u201eMisserfolg\u201c.<\/p>\n In der Bernoulli-Verteilung ist \u201eErfolg\u201c das von uns erwartete Ergebnis und hat den Wert 1, w\u00e4hrend das Ergebnis von \u201eMisserfolg\u201c ein anderes als das erwartete Ergebnis ist und den Wert 0 hat. Wenn also die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses \u201e \u201eErfolg\u201c ist p<\/em> , die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses von \u201eMisserfolg\u201c ist q=1-p<\/em> .<\/p>\n<\/p>\n Die Bernoulli-Verteilung ist nach dem Schweizer Statistiker Jacob Bernoulli benannt.<\/p>\n In der Statistik hat die Bernoulli-Verteilung haupts\u00e4chlich eine Anwendung: Sie definiert die Wahrscheinlichkeiten von Experimenten, bei denen es nur zwei m\u00f6gliche Ergebnisse gibt: Erfolg und Misserfolg. Daher wird ein Experiment, das die Bernoulli-Verteilung verwendet, Bernoulli-Test oder Bernoulli-Experiment genannt. <\/p>\n Die Binomialverteilung<\/strong> , auch Binomialverteilung<\/strong> genannt, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Erfolge bei der Durchf\u00fchrung einer Reihe unabh\u00e4ngiger, dichotomer Experimente mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit z\u00e4hlt. Mit anderen Worten: Die Binomialverteilung ist eine Verteilung, die die Anzahl erfolgreicher Ergebnisse einer Folge von Bernoulli-Versuchen beschreibt.<\/p>\n Beispielsweise ist die H\u00e4ufigkeit, mit der eine M\u00fcnze 25 Mal \u201eKopf\u201c zeigt, eine Binomialverteilung.<\/p>\n Im Allgemeinen wird die Gesamtzahl der durchgef\u00fchrten Experimente mit dem Parameter n<\/em> definiert, w\u00e4hrend p<\/em> die Erfolgswahrscheinlichkeit jedes Experiments ist. Somit wird eine Zufallsvariable, die einer Binomialverteilung folgt, wie folgt geschrieben:<\/p>\n<\/p>\n Beachten Sie, dass in einer Binomialverteilung genau dasselbe Experiment n<\/em> -mal wiederholt wird und die Experimente unabh\u00e4ngig voneinander sind, sodass die Erfolgswahrscheinlichkeit jedes Experiments gleich ist (p)<\/em> . <\/p>\n Die Poisson-Verteilung<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit definiert, mit der eine bestimmte Anzahl von Ereignissen \u00fcber einen bestimmten Zeitraum auftritt. Mit anderen Worten: Die Poisson-Verteilung wird zur Modellierung von Zufallsvariablen verwendet, die beschreiben, wie oft sich ein Ph\u00e4nomen in einem Zeitintervall wiederholt.<\/p>\n Beispielsweise ist die Anzahl der Anrufe, die eine Telefonzentrale pro Minute erh\u00e4lt, eine diskrete Zufallsvariable, die mithilfe der Poisson-Verteilung definiert werden kann.<\/p>\n Die Poisson-Verteilung verf\u00fcgt \u00fcber einen charakteristischen Parameter, der durch den griechischen Buchstaben \u03bb dargestellt wird und angibt, wie oft das untersuchte Ereignis in einem bestimmten Intervall voraussichtlich auftritt. <\/p>\n<\/p>\n Die Multinomialverteilung<\/strong> (oder Multinomialverteilung<\/strong> ) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass mehrere sich gegenseitig ausschlie\u00dfende Ereignisse nach mehreren Versuchen mit einer bestimmten H\u00e4ufigkeit auftreten.<\/p>\n Das hei\u00dft, wenn ein Zufallsexperiment zu drei oder mehr exklusiven Ereignissen f\u00fchren kann und die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis separat auftritt, bekannt ist, wird die Multinomialverteilung verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bei der Durchf\u00fchrung mehrerer Experimente eine bestimmte Anzahl von Ereignissen auftritt. Zeit jedes Mal.<\/p>\n Die Multinomialverteilung ist daher eine Verallgemeinerung der Binomialverteilung. <\/p>\n Die geometrische Verteilung<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Bernoulli-Versuche definiert, die erforderlich sind, um das erste erfolgreiche Ergebnis zu erhalten. Dabei handelt es sich um ein geometrisches Verteilungsmodell f\u00fcr Prozesse, bei denen Bernoulli-Experimente wiederholt werden, bis eines davon ein positives Ergebnis liefert.<\/p>\n Beispielsweise ist die Anzahl der Autos, die auf einer Stra\u00dfe vorbeifahren, bis sie ein gelbes Auto sehen, eine geometrische Verteilung.<\/p>\n Denken Sie daran, dass ein Bernoulli-Test ein Experiment ist, das zwei m\u00f6gliche Ergebnisse hat: \u201eErfolg\u201c und \u201eMisserfolg\u201c. Wenn also die Wahrscheinlichkeit des \u201eErfolgs\u201c p<\/em> ist, ist die Wahrscheinlichkeit des \u201eMisserfolgs\u201c q=1-p<\/em> .<\/p>\n Die geometrische Verteilung h\u00e4ngt daher vom Parameter p<\/em> ab, der die Erfolgswahrscheinlichkeit aller durchgef\u00fchrten Experimente darstellt. Dar\u00fcber hinaus ist die Wahrscheinlichkeit p<\/em> f\u00fcr alle Experimente gleich. <\/p>\n<\/p>\n Die negative Binomialverteilung<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Bernoulli-Versuche beschreibt, die erforderlich sind, um eine bestimmte Anzahl positiver Ergebnisse zu erhalten.<\/p>\n Daher weist eine negative Binomialverteilung zwei charakteristische Parameter auf: r<\/em> ist die Anzahl der gew\u00fcnschten erfolgreichen Ergebnisse und p<\/em> ist die Erfolgswahrscheinlichkeit f\u00fcr jedes durchgef\u00fchrte Bernoulli-Experiment.<\/p>\n<\/p>\n Somit definiert eine negative Binomialverteilung einen Prozess, bei dem so viele Bernoulli-Versuche durchgef\u00fchrt werden, wie n\u00f6tig sind, um positive Ergebnisse<\/em> zu erhalten. Dar\u00fcber hinaus sind alle diese Bernoulli-Versuche unabh\u00e4ngig und haben eine konstante Erfolgswahrscheinlichkeit<\/em> .<\/p>\n Beispielsweise gibt eine Zufallsvariable, die einer negativen Binomialverteilung folgt, an, wie oft ein W\u00fcrfel gew\u00fcrfelt werden muss, bis die Zahl 6 dreimal gew\u00fcrfelt wird. <\/p>\n Die hypergeometrische Verteilung<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl erfolgreicher F\u00e4lle bei einer zuf\u00e4lligen Extraktion ohne Ersetzung von n<\/em> Elementen aus einer Grundgesamtheit beschreibt.<\/p>\n Das hei\u00dft, die hypergeometrische Verteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, x<\/em> Erfolge zu erzielen, wenn n<\/em> Elemente aus einer Population extrahiert werden, ohne eines davon zu ersetzen.<\/p>\n Daher hat die hypergeometrische Verteilung drei Parameter:<\/p>\n![\"\\begin{array}{c}P[X=x_i]=p_i](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-115362012319df0fa040b1606f0cf461_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Beispiele f\u00fcr diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/span><\/h2>\n
\n
<\/span> Arten diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/span><\/h2>\n
\n
<\/span> Diskrete Gleichverteilung<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Bernoulli-Verteilung<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Binomialverteilung<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span>Fischverteilung<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Multinomiale Verteilung<\/span><\/h3>\n
<\/span>Geometrische Verteilung<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Negative Binomialverteilung<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Hypergeometrische Verteilung<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n