Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung<\/strong> ist eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit des Auftretens jedes Werts einer Zufallsvariablen<\/a> definiert. Einfach ausgedr\u00fcckt ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung eine mathematische Funktion, die die Wahrscheinlichkeiten aller m\u00f6glichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments beschreibt.<\/p>\n Lassen Sie zum Beispiel<\/p>\n Daher werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen h\u00e4ufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, da sie zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse in einem Stichprobenraum<\/a> dienen. <\/p>\n Wahrscheinlichkeitsverteilungen k\u00f6nnen in zwei gro\u00dfe Typen unterteilt werden: diskrete Verteilungen und kontinuierliche Verteilungen.<\/p>\n Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung<\/strong> ist die Verteilung, die die Wahrscheinlichkeiten einer diskreten Zufallsvariablen definiert. Daher kann eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung nur eine endliche Anzahl von Werten (normalerweise ganzzahlige Werte) annehmen. <\/p>\n Eine diskrete Gleichverteilung<\/strong> ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der alle Werte gleich wahrscheinlich sind, d. h. in einer diskreten Gleichverteilung haben alle Werte die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit.<\/p>\n Beispielsweise kann der Wurf eines W\u00fcrfels mit einer diskreten Gleichverteilung definiert werden, da alle m\u00f6glichen Ergebnisse (1, 2, 3, 4, 5 oder 6) die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben.<\/p>\n Im Allgemeinen verf\u00fcgt eine diskrete Gleichverteilung \u00fcber zwei charakteristische Parameter, a<\/em> und b<\/em> , die den Bereich m\u00f6glicher Werte definieren, den die Verteilung annehmen kann. Wenn also eine Variable durch eine diskrete Gleichverteilung definiert ist, wird sie als Uniform(a,b)<\/em> geschrieben.<\/p>\n<\/p>\n Die diskrete Gleichverteilung kann zur Beschreibung von Zufallsexperimenten verwendet werden, denn wenn alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, bedeutet dies, dass das Experiment zuf\u00e4llig ist. <\/p>\n Die Bernoulli-Verteilung<\/strong> , auch dichotome Verteilung<\/strong> genannt, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine diskrete Variable darstellt, die nur zwei Ergebnisse haben kann: \u201eErfolg\u201c oder \u201eMisserfolg\u201c.<\/p>\n In der Bernoulli-Verteilung ist \u201eErfolg\u201c das von uns erwartete Ergebnis und hat den Wert 1, w\u00e4hrend das Ergebnis von \u201eMisserfolg\u201c ein anderes als das erwartete Ergebnis ist und den Wert 0 hat. Wenn also die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses \u201e \u201eErfolg\u201c ist p<\/em> , die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses von \u201eMisserfolg\u201c ist q=1-p<\/em> .<\/p>\n<\/p>\n Die Bernoulli-Verteilung ist nach dem Schweizer Statistiker Jacob Bernoulli benannt.<\/p>\n In der Statistik hat die Bernoulli-Verteilung haupts\u00e4chlich eine Anwendung: Sie definiert die Wahrscheinlichkeiten von Experimenten, bei denen es nur zwei m\u00f6gliche Ergebnisse gibt: Erfolg und Misserfolg. Daher wird ein Experiment, das die Bernoulli-Verteilung verwendet, Bernoulli-Test oder Bernoulli-Experiment genannt. <\/p>\n Die Binomialverteilung<\/strong> , auch Binomialverteilung<\/strong> genannt, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Erfolge bei der Durchf\u00fchrung einer Reihe unabh\u00e4ngiger, dichotomer Experimente mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit z\u00e4hlt. Mit anderen Worten: Die Binomialverteilung ist eine Verteilung, die die Anzahl erfolgreicher Ergebnisse einer Folge von Bernoulli-Versuchen beschreibt.<\/p>\n Beispielsweise ist die H\u00e4ufigkeit, mit der \u201eKopf\u201c erscheint, wenn eine M\u00fcnze 25 Mal geworfen wird, eine Binomialverteilung.<\/p>\n Im Allgemeinen wird die Gesamtzahl der durchgef\u00fchrten Experimente mit dem Parameter n<\/em> definiert, w\u00e4hrend p<\/em> die Erfolgswahrscheinlichkeit jedes Experiments ist. Somit wird eine Zufallsvariable, die einer Binomialverteilung folgt, wie folgt geschrieben:<\/p>\n<\/p>\n Beachten Sie, dass in einer Binomialverteilung genau dasselbe Experiment n<\/em> -mal wiederholt wird und die Experimente unabh\u00e4ngig voneinander sind, sodass die Erfolgswahrscheinlichkeit jedes Experiments gleich ist (p)<\/em> . <\/p>\n Die Poisson-Verteilung<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit definiert, mit der eine bestimmte Anzahl von Ereignissen \u00fcber einen bestimmten Zeitraum auftritt. Mit anderen Worten: Die Poisson-Verteilung wird zur Modellierung von Zufallsvariablen verwendet, die beschreiben, wie oft sich ein Ph\u00e4nomen in einem Zeitintervall wiederholt.<\/p>\n Beispielsweise ist die Anzahl der Anrufe, die eine Telefonzentrale pro Minute erh\u00e4lt, eine diskrete Zufallsvariable, die mithilfe der Poisson-Verteilung definiert werden kann.<\/p>\n Die Poisson-Verteilung verf\u00fcgt \u00fcber einen charakteristischen Parameter, der durch den griechischen Buchstaben \u03bb dargestellt wird und angibt, wie oft das untersuchte Ereignis in einem bestimmten Intervall voraussichtlich auftritt. <\/p>\n<\/p>\n Die Multinomialverteilung<\/strong> (oder Multinomialverteilung<\/strong> ) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass mehrere sich gegenseitig ausschlie\u00dfende Ereignisse nach mehreren Versuchen mit einer bestimmten H\u00e4ufigkeit auftreten.<\/p>\n Das hei\u00dft, wenn ein Zufallsexperiment zu drei oder mehr exklusiven Ereignissen f\u00fchren kann und die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis separat auftritt, bekannt ist, wird die Multinomialverteilung verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bei der Durchf\u00fchrung mehrerer Experimente eine bestimmte Anzahl von Ereignissen auftritt. Zeit jedes Mal.<\/p>\n Die Multinomialverteilung ist daher eine Verallgemeinerung der Binomialverteilung. <\/p>\n Die geometrische Verteilung<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Bernoulli-Versuche definiert, die erforderlich sind, um das erste erfolgreiche Ergebnis zu erhalten. Dabei handelt es sich um ein geometrisches Verteilungsmodell f\u00fcr Prozesse, bei denen Bernoulli-Experimente wiederholt werden, bis eines davon ein positives Ergebnis liefert.<\/p>\n Beispielsweise ist die Anzahl der Autos, die auf einer Autobahn vorbeifahren, bis sie ein gelbes Auto sehen, eine geometrische Verteilung.<\/p>\n Denken Sie daran, dass ein Bernoulli-Test ein Experiment ist, das zwei m\u00f6gliche Ergebnisse hat: \u201eErfolg\u201c und \u201eMisserfolg\u201c. Wenn also die Wahrscheinlichkeit des \u201eErfolgs\u201c p<\/em> ist, ist die Wahrscheinlichkeit des \u201eMisserfolgs\u201c q=1-p<\/em> .<\/p>\n Die geometrische Verteilung h\u00e4ngt daher vom Parameter p<\/em> ab, der die Erfolgswahrscheinlichkeit aller durchgef\u00fchrten Experimente darstellt. Dar\u00fcber hinaus ist die Wahrscheinlichkeit p<\/em> f\u00fcr alle Experimente gleich. <\/p>\n<\/p>\n Die negative Binomialverteilung<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Bernoulli-Versuche beschreibt, die erforderlich sind, um eine bestimmte Anzahl positiver Ergebnisse zu erhalten.<\/p>\n Daher weist eine negative Binomialverteilung zwei charakteristische Parameter auf: r<\/em> ist die Anzahl der gew\u00fcnschten erfolgreichen Ergebnisse und p<\/em> ist die Erfolgswahrscheinlichkeit f\u00fcr jedes durchgef\u00fchrte Bernoulli-Experiment.<\/p>\n<\/p>\n Somit definiert eine negative Binomialverteilung einen Prozess, bei dem so viele Bernoulli-Versuche durchgef\u00fchrt werden, wie n\u00f6tig sind, um positive Ergebnisse<\/em> zu erhalten. Dar\u00fcber hinaus sind alle diese Bernoulli-Versuche unabh\u00e4ngig und haben eine konstante Erfolgswahrscheinlichkeit<\/em> .<\/p>\n Beispielsweise gibt eine Zufallsvariable, die einer negativen Binomialverteilung folgt, an, wie oft ein W\u00fcrfel gew\u00fcrfelt werden muss, bis die Zahl 6 dreimal gew\u00fcrfelt wird. <\/p>\n Die hypergeometrische Verteilung<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl erfolgreicher F\u00e4lle bei einer zuf\u00e4lligen Extraktion ohne Ersetzung von n<\/em> Elementen aus einer Grundgesamtheit beschreibt.<\/p>\n Das hei\u00dft, die hypergeometrische Verteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, x<\/em> Erfolge zu erzielen, wenn n<\/em> Elemente aus einer Population extrahiert werden, ohne eines davon zu ersetzen.<\/p>\n Daher hat die hypergeometrische Verteilung drei Parameter:<\/p>\n Eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung<\/strong> ist eine Verteilung, die jeden Wert in einem Intervall annehmen kann, einschlie\u00dflich Dezimalwerten. Daher definiert eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung die Wahrscheinlichkeiten einer kontinuierlichen Zufallsvariablen. <\/p>\n Die kontinuierliche Gleichverteilung<\/strong> , auch Rechteckverteilung<\/strong> genannt, ist eine Art kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der alle Werte die gleiche Auftrittswahrscheinlichkeit haben. Mit anderen Worten: Die kontinuierliche Gleichverteilung ist eine Verteilung, bei der die Wahrscheinlichkeit gleichm\u00e4\u00dfig \u00fcber ein Intervall verteilt ist.<\/p>\n Die kontinuierliche Gleichverteilung wird verwendet, um kontinuierliche Variablen mit konstanter Wahrscheinlichkeit zu beschreiben. In \u00e4hnlicher Weise wird die kontinuierliche Gleichverteilung zur Definition zuf\u00e4lliger Prozesse verwendet, denn wenn alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, bedeutet dies, dass das Ergebnis zuf\u00e4llig ist.<\/p>\n Die kontinuierliche Gleichverteilung weist zwei charakteristische Parameter a<\/em> und b<\/em> auf, die das \u00c4quiwahrscheinlichkeitsintervall definieren. Somit ist das Symbol f\u00fcr die kontinuierliche Gleichverteilung U(a,b)<\/em> , wobei a<\/em> und b<\/em> die charakteristischen Werte der Verteilung sind.<\/p>\n<\/p>\n Wenn beispielsweise das Ergebnis eines Zufallsexperiments einen beliebigen Wert zwischen 5 und 9 annehmen kann und alle m\u00f6glichen Ergebnisse die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben, kann das Experiment mit einer kontinuierlichen Gleichverteilung U(5,9) simuliert werden. <\/p>\n Die Normalverteilung<\/strong> ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren Diagramm glockenf\u00f6rmig und symmetrisch um seinen Mittelwert ist. In der Statistik wird die Normalverteilung zur Modellierung von Ph\u00e4nomenen mit sehr unterschiedlichen Eigenschaften verwendet, weshalb diese Verteilung so wichtig ist.<\/p>\n Tats\u00e4chlich gilt die Normalverteilung in der Statistik als die mit Abstand wichtigste Verteilung aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen, da sie nicht nur eine gro\u00dfe Anzahl realer Ph\u00e4nomene modellieren kann, sondern die Normalverteilung auch zur Approximation anderer Arten von Ph\u00e4nomenen verwendet werden kann Verteilungen. unter bestimmten Bedingungen.<\/p>\n Das Symbol f\u00fcr die Normalverteilung ist der Gro\u00dfbuchstabe N. Um anzuzeigen, dass eine Variable einer Normalverteilung folgt, wird sie mit dem Buchstaben N gekennzeichnet und die Werte ihres arithmetischen Mittels und ihrer Standardabweichung werden in Klammern hinzugef\u00fcgt.<\/p>\n<\/p>\n Die Normalverteilung hat viele verschiedene Namen, einschlie\u00dflich Gau\u00df-Verteilung<\/strong> , Gau\u00df-Verteilung<\/strong> und Laplace-Gau\u00df-Verteilung<\/strong> . <\/p>\n Die Lognormalverteilung<\/strong> oder Lognormalverteilung<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine Zufallsvariable definiert, deren Logarithmus einer Normalverteilung folgt.<\/p>\n Wenn also die Variable X eine Normalverteilung hat, dann hat die Exponentialfunktion e x<\/sup> eine Lognormalverteilung.<\/p>\n<\/p>\n Beachten Sie, dass die Lognormalverteilung nur verwendet werden kann, wenn die Werte der Variablen positiv sind, da der Logarithmus eine Funktion ist, die nur ein positives Argument akzeptiert.<\/p>\n Unter den verschiedenen Anwendungen der Lognormalverteilung in der Statistik unterscheiden wir die Verwendung dieser Verteilung zur Analyse von Finanzinvestitionen und zur Durchf\u00fchrung von Zuverl\u00e4ssigkeitsanalysen.<\/p>\n Die Lognormalverteilung wird auch als Tinaut-Verteilung<\/strong> bezeichnet, manchmal auch als Lognormalverteilung<\/strong> oder Log-Normalverteilung<\/strong> geschrieben. <\/p>\n Die Chi-Quadrat-Verteilung<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren Symbol \u03c7\u00b2 ist. Genauer gesagt ist die Chi-Quadrat-Verteilung die Summe des Quadrats von k<\/em> unabh\u00e4ngigen Zufallsvariablen mit einer Normalverteilung.<\/p>\n Somit hat die Chi-Quadrat-Verteilung k<\/em> Freiheitsgrade. Daher hat eine Chi-Quadrat-Verteilung so viele Freiheitsgrade wie die Summe der Quadrate der normalverteilten Variablen, die sie darstellt.<\/p>\n<\/p>\n Die Chi-Quadrat-Verteilung wird auch als Pearson-Verteilung<\/strong> bezeichnet.<\/p>\n Die Chi-Quadrat-Verteilung wird h\u00e4ufig bei statistischen Schlussfolgerungen verwendet, beispielsweise beim Testen von Hypothesen und bei Konfidenzintervallen. Wir werden unten sehen, welche Anwendungen diese Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung sind. <\/p>\n Die Student-t-Verteilung<\/strong> ist eine in der Statistik weit verbreitete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Insbesondere wird die Student-t-Verteilung im Student-t-Test verwendet, um die Differenz zwischen den Mittelwerten zweier Stichproben zu bestimmen und Konfidenzintervalle festzulegen.<\/p>\n Die Student-t-Verteilung wurde 1908 vom Statistiker William Sealy Gosset unter dem Pseudonym \u201eStudent\u201c entwickelt.<\/p>\n Die Student-t-Verteilung wird durch die Anzahl der Freiheitsgrade definiert, die durch Subtrahieren einer Einheit von der Gesamtzahl der Beobachtungen ermittelt wird. Daher lautet die Formel zur Bestimmung der Freiheitsgrade der Student-t-Verteilung \u03bd=n-1<\/em> . <\/p>\n<\/p>\n Die Snedecor-F-Verteilung<\/strong> , auch Fisher-Snedecor-F-Verteilung<\/strong> oder einfach F-Verteilung<\/strong> genannt, ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die bei statistischen Inferenzen, insbesondere bei der Varianzanalyse, verwendet wird.<\/p>\n Eine der Eigenschaften der Snedecor-F-Verteilung besteht darin, dass sie durch den Wert zweier reeller Parameter m<\/em> und n<\/em> definiert wird, die ihre Freiheitsgrade angeben. Daher ist das Symbol f\u00fcr die Snedecor-Verteilung F F m,n<\/sub><\/em> , wobei m<\/em> und n<\/em> die Parameter sind, die die Verteilung definieren.<\/p>\n<\/p>\n Mathematisch gesehen ist die Snedecor-F-Verteilung gleich dem Quotienten zwischen einer Chi-Quadrat-Verteilung und ihren Freiheitsgraden geteilt durch den Quotienten zwischen einer anderen Chi-Quadrat-Verteilung und ihren Freiheitsgraden. Somit lautet die Formel, die die Snedecor-F-Verteilung definiert, wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n Die Fisher-Snedecor-F-Verteilung verdankt ihren Namen dem englischen Statistiker Ronald Fisher und dem amerikanischen Statistiker George Snedecor.<\/p>\n In der Statistik hat die Fisher-Snedecor-F-Verteilung verschiedene Anwendungen. Beispielsweise wird die Fisher-Snedecor-F-Verteilung verwendet, um verschiedene lineare Regressionsmodelle zu vergleichen, und diese Wahrscheinlichkeitsverteilung wird in der Varianzanalyse (ANOVA) verwendet. <\/p>\n Die Exponentialverteilung<\/strong> ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die zur Modellierung der Wartezeit f\u00fcr das Auftreten eines Zufallsph\u00e4nomens verwendet wird.<\/p>\n Genauer gesagt erm\u00f6glicht die Exponentialverteilung die Beschreibung der Wartezeit zwischen zwei Ph\u00e4nomenen, die einer Poisson-Verteilung folgt. Daher ist die Exponentialverteilung eng mit der Poisson-Verteilung verwandt.<\/p>\n Die Exponentialverteilung hat einen charakteristischen Parameter, der durch den griechischen Buchstaben \u03bb dargestellt wird und angibt, wie oft das untersuchte Ereignis in einem bestimmten Zeitraum voraussichtlich auftritt.<\/p>\n<\/p>\n Ebenso wird die Exponentialverteilung auch zur Modellierung der Zeit bis zum Auftreten eines Ausfalls verwendet. Die Exponentialverteilung hat daher mehrere Anwendungen in der Zuverl\u00e4ssigkeits- und \u00dcberlebenstheorie. <\/p>\n Die Beta-Verteilung<\/strong> ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die im Intervall (0,1) definiert und durch zwei positive Parameter parametrisiert ist: \u03b1 und \u03b2. Mit anderen Worten, die Werte der Beta-Verteilung h\u00e4ngen von den Parametern \u03b1 und \u03b2 ab.<\/p>\n Daher wird die Betaverteilung verwendet, um kontinuierliche Zufallsvariablen zu definieren, deren Wert zwischen 0 und 1 liegt.<\/p>\n Es gibt mehrere Notationen, die darauf hinweisen, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable durch eine Betaverteilung bestimmt wird. Die gebr\u00e4uchlichsten sind:<\/p>\n<\/p>\n In der Statistik hat die Beta-Verteilung sehr unterschiedliche Anwendungen. Beispielsweise wird die Betaverteilung verwendet, um prozentuale Schwankungen in verschiedenen Stichproben zu untersuchen. In \u00e4hnlicher Weise wird im Projektmanagement die Betaverteilung zur Durchf\u00fchrung einer Pert-Analyse verwendet. <\/p>\n Die Gammaverteilung<\/strong> ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch zwei charakteristische Parameter, \u03b1 und \u03bb, definiert wird. Mit anderen Worten: Die Gammaverteilung h\u00e4ngt vom Wert ihrer beiden Parameter ab: \u03b1 ist der Formparameter und \u03bb der Skalenparameter.<\/p>\n<\/span> Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/span><\/h2>\n
\n
<\/span> Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/span><\/h3>\n
<\/span> Diskrete Gleichverteilung<\/span><\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Bernoulli-Verteilung<\/span><\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Binomialverteilung<\/span><\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span>Fischverteilung<\/span><\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Multinomialverteilung<\/span><\/h4>\n
<\/span>geometrische Verteilung<\/span><\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> negative Binomialverteilung<\/span><\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> hypergeometrische Verteilung<\/span><\/h4>\n
\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/span><\/h3>\n
<\/span> gleichm\u00e4\u00dfige und kontinuierliche Verteilung<\/span><\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span>Normalverteilung<\/span><\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Lognormalverteilung<\/span><\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Chi-Quadrat-Verteilung<\/span><\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Studentische t-Verteilung<\/span><\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Snedecor F-Verteilung<\/span><\/h4>\n
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0″ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“18″ width=“139″ style=“vertical-align: -6px;“><\/p>\n<\/p>\n![\"\\left.\\begin{array}{c}](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d407869e61ca4357ffbcb40df3bd83ab_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Exponentialverteilung<\/span><\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Beta-Verteilung<\/span><\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Gammaverteilung<\/span><\/h4>\n