{"id":247,"date":"2023-08-03T15:17:12","date_gmt":"2023-08-03T15:17:12","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/konfidenzintervall\/"},"modified":"2023-08-03T15:17:12","modified_gmt":"2023-08-03T15:17:12","slug":"konfidenzintervall","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/konfidenzintervall\/","title":{"rendered":"Konfidenzintervall"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was ein Konfidenzintervall in der Statistik ist und wof\u00fcr es verwendet wird. Au\u00dferdem erfahren Sie, welche Faktoren Einfluss auf Konfidenzintervalle haben und wie ein Konfidenzintervall berechnet wird. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-un-intervalo-de-confianza\"><\/span> Was ist ein Konfidenzintervall?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In der Statistik ist das <strong>Konfidenzintervall<\/strong> ein Intervall, das eine Ann\u00e4herung an die Werte liefert, zwischen denen der Wert eines Populationsparameters mit einem bestimmten Konfidenzniveau verkn\u00fcpft ist. Die g\u00e4ngigsten Konfidenzintervalle haben ein Konfidenzniveau von 95 % oder 99 %.<\/p>\n<p> Wenn beispielsweise das Konfidenzintervall f\u00fcr den Mittelwert einer Grundgesamtheit mit einem Konfidenzniveau von 95 % (3,7) betr\u00e4gt, bedeutet dies, dass der Mittelwert der untersuchten Grundgesamtheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % zwischen 3 und 7 liegen wird.<\/p>\n<p> Daher wird das Konfidenzintervall verwendet, um zwei Werte zu sch\u00e4tzen, zwischen denen ein Populationsparameter liegt. Im Allgemeinen sind die Werte der Populationsparameter unbekannt, daher wird aus den Daten einer Stichprobe ein Konfidenzintervall berechnet, um eine Sch\u00e4tzung der Populationsparameter zu erhalten. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"factores-que-influyen-en-el-intervalo-de-confianza\"><\/span> Faktoren, die das Konfidenzintervall beeinflussen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Sobald wir die Definition des Konfidenzintervalls gesehen haben, werden wir sehen, von welchen Faktoren die Konfidenzintervalle abh\u00e4ngen, um das Konzept besser zu verstehen.<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:22px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Stichprobengr\u00f6\u00dfe<\/strong> : Die Anzahl der untersuchten Beobachtungen beeinflusst die Pr\u00e4zision des Konfidenzintervalls, denn je mehr Daten wir haben, desto besser kann ein Wert gesch\u00e4tzt werden. Im Allgemeinen gilt: Je gr\u00f6\u00dfer die Stichprobe, desto kleiner die Breite des Konfidenzintervalls.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:22px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Fehlerspanne<\/strong> : Je gr\u00f6\u00dfer der zul\u00e4ssige Fehler, desto gr\u00f6\u00dfer das Konfidenzintervall und desto wahrscheinlicher ist es daher, dass der wahre Wert des Parameters innerhalb des Konfidenzintervalls liegt. Allerdings verringert die Fehlerspanne die Genauigkeit des Konfidenzintervalls.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:22px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Konfidenzniveau<\/strong> : ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Sch\u00e4tzung der Bev\u00f6lkerungsstatistik innerhalb des Konfidenzintervalls liegt. Typischerweise wird das Konfidenzniveau eines Intervalls als 1-\u03b1 angegeben und als Prozentsatz ausgedr\u00fcckt. Ein hohes Konfidenzniveau erh\u00f6ht die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Wert zwischen den Intervallgrenzen liegt, vergr\u00f6\u00dfert aber auch die Breite des Intervalls.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:22px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Der gesch\u00e4tzte Parameter<\/strong> : Das Konfidenzintervall h\u00e4ngt vom zu approximierenden Parameter ab. Tats\u00e4chlich h\u00e4ngt die zur Berechnung des Konfidenzintervalls zu verwendende Formel vom N\u00e4herungsparameter ab.<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"como-calcular-el-intervalo-de-confianza\"><\/span> So berechnen Sie das Konfidenzintervall<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die zur Berechnung der einzelnen Arten von Konfidenzintervallen anzuwendende Formel wird unten dargestellt, denn je nachdem, ob wir das Konfidenzintervall f\u00fcr den Mittelwert, die Varianz oder den Anteil bestimmen m\u00f6chten, ist die zu verwendende Formel unterschiedlich. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"intervalo-de-confianza-para-la-media\"><\/span> Konfidenzintervall f\u00fcr den Mittelwert<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Ausgehend von der Tatsache, dass die Eingabe einer Variablen wie folgt erfolgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f93a5e76c38b2e2556bd62ba66db5947_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Z=\\cfrac{X-\\mu}{\\displaystyle\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}} \\sim N(0,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"60\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -34px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Das Konfidenzintervall f\u00fcr den Mittelwert wird berechnet, indem der Wert von Z <sub>\u03b1\/2<\/sub> mit der Standardabweichung (\u03c3) multipliziert und durch die Quadratwurzel der Stichprobengr\u00f6\u00dfe (n) dividiert und vom Stichprobenmittelwert subtrahiert wird. Daher lautet die Formel zur Berechnung des Konfidenzintervalls des Mittelwerts:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-985a374c69b468deb3d6d159fcbe6de5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(\\overline{x}-z_{\\alpha\/2}\\cdot \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} \\ , \\ \\overline{x}+z_{\\alpha\/2}\\cdot \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> F\u00fcr gro\u00dfe Stichprobengr\u00f6\u00dfen und ein Konfidenzniveau von 95 % betr\u00e4gt der kritische Wert Z <sub>\u03b1\/2<\/sub> = 1,96 und f\u00fcr ein Konfidenzniveau von 99 % betr\u00e4gt der kritische Wert Z <sub>\u03b1\/2<\/sub> = 2,576.<\/p>\n<p> Die obige Formel wird verwendet, wenn die Populationsvarianz bekannt ist. Wenn jedoch die Populationsvarianz unbekannt ist, was am h\u00e4ufigsten der Fall ist, <strong>wird das Konfidenzintervall f\u00fcr den Mittelwert anhand der folgenden Formel berechnet:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e40e2c40fbfe4f5aa96c21ff979aae5a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(\\overline{x}-t_{\\alpha\/2}\\cdot \\frac{s}{\\sqrt{n}} \\ , \\ \\overline{x}+t_{\\alpha\/2}\\cdot \\frac{s}{\\sqrt{n}} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Gold:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a39858a792fb4fe9a3173e004701f2a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist das Beispielmittel.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33bd5d525ddf37600aef97b0c8c08f94_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"t_{\\alpha\/2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -8px;\"><\/p>\n<p> ist der Wert der Student-t-Verteilung von n-1 Freiheitsgraden mit der Wahrscheinlichkeit \u03b1\/2.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1edc883862ceed1a21913f60358e31d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Standardabweichung der Stichprobe.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec4217f4fa5fcd92a9edceba0e708cf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Stichprobengr\u00f6\u00dfe. <\/li>\n<\/ul>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/intervalle-de-confiance.png\" alt=\"Konfidenzintervall\" class=\"wp-image-5249\" width=\"351\" height=\"339\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/konfidenzintervall-fur-den-mittelwert\/\">Beispiel zur Berechnung des Konfidenzintervalls des Mittelwerts<\/a> <\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"intervalo-de-confianza-para-la-varianza\"><\/span> Konfidenzintervall f\u00fcr Varianz<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Zur Berechnung des Konfidenzintervalls f\u00fcr die Varianz einer Grundgesamtheit wird die Chi-Quadrat-Verteilung verwendet. Genauer gesagt lautet die <strong>Formel zur Berechnung des Konfidenzintervalls f\u00fcr die Varianz<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c81b971afee9691573e8400dc0945c37_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left( (n-1)\\frac{s^2}{\\chi_{n-1;\\alpha\/2}} \\ , \\ (n-1)\\frac{s^2}{\\chi_{n-1;1-\\alpha\/2}}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"47\" width=\"304\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Gold:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec4217f4fa5fcd92a9edceba0e708cf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Stichprobengr\u00f6\u00dfe.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1edc883862ceed1a21913f60358e31d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Standardabweichung der Stichprobe.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a1f2f5b5bd065f40d0b8c175d6d48950_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\chi_{n-1;\\alpha\/2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -8px;\"><\/p>\n<p> ist der Wert der Chi-Quadrat-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden f\u00fcr eine Wahrscheinlichkeit kleiner als \u03b1\/2.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f1726e9973441084f7ac98c5550f1b23_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\chi_{n-1;1-\\alpha\/2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -8px;\"><\/p>\n<p> ist der Wert der Chi-Quadrat-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden f\u00fcr eine Wahrscheinlichkeit gr\u00f6\u00dfer als 1-\u03b1\/2. <\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/konfidenzintervall-fur-varianz\/\">Beispiel zur Berechnung des Konfidenzintervalls f\u00fcr die Varianz<\/a> <\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"intervalo-de-confianza-para-la-proporcion\"><\/span> Konfidenzintervall f\u00fcr Proportionen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Das Konfidenzintervall f\u00fcr den Anteil wird berechnet, indem der Wert von Z <sub>\u03b1\/2<\/sub> , multipliziert mit der Quadratwurzel des Stichprobenanteils (p), multipliziert mit 1-p, addiert und vom Stichprobenanteil subtrahiert und durch die Stichprobengr\u00f6\u00dfe (n) dividiert wird. Daher lautet die <strong>Formel zur Berechnung des Konfidenzintervalls f\u00fcr den Anteil<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a328986eaa330c075c7fb85780df6411_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(p-Z_{\\alpha\/2}\\sqrt{\\frac{p(1-p)}{n}}\\ , \\ p+Z_{\\alpha\/2}\\sqrt{\\frac{p(1-p)}{n}}\\right) \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"339\" style=\"vertical-align: -23px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Gold: <\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5faad0904f612a3fa5b27faafb8dc903_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"p\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> ist der Stichprobenanteil.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec4217f4fa5fcd92a9edceba0e708cf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Stichprobengr\u00f6\u00dfe.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:7px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f8ee37ecf97c2a7c7d6dbe8fddddc27_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Z_{\\alpha\/2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -8px;\"><\/p>\n<p> ist das Quantil der Standardnormalverteilung, das einer Wahrscheinlichkeit von \u03b1\/2 entspricht. Bei gro\u00dfen Stichprobengr\u00f6\u00dfen und einem Konfidenzniveau von 95 % liegt er normalerweise nahe bei 1,96 und bei einem Konfidenzniveau von 99 % normalerweise nahe bei 2,576. <\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/konfidenzintervall-fur-proportionen\/\">Beispiel zur Berechnung des Konfidenzintervalls f\u00fcr den Anteil<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was ein Konfidenzintervall in der Statistik ist und wof\u00fcr es verwendet wird. Au\u00dferdem erfahren Sie, welche Faktoren Einfluss auf Konfidenzintervalle haben und wie ein Konfidenzintervall berechnet wird. Was ist ein Konfidenzintervall? 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