Der zentrale Grenzwertsatz besagt au\u00dferdem, dass die Stichprobenverteilung die folgenden Eigenschaften haben wird:<\/span><\/p>\n 1.<\/strong> Der Mittelwert der Stichprobenverteilung entspricht dem Mittelwert der Bev\u00f6lkerungsverteilung:<\/span><\/p>\n x<\/span> = \u00b5<\/span><\/strong><\/p>\n 2.<\/strong> Die Standardabweichung der Stichprobenverteilung entspricht der Standardabweichung der Grundgesamtheitsverteilung dividiert durch die Stichprobengr\u00f6\u00dfe:<\/span><\/p>\n s = \u03c3<\/span> \/n<\/span><\/strong><\/p>\n Das folgende Beispiel zeigt, wie der zentrale Grenzwertsatz in R angewendet wird.<\/span><\/p>\n Angenommen, die Breite des Panzers einer Schildkr\u00f6te folgt einer gleichm\u00e4\u00dfigen Verteilung<\/a> mit einer minimalen Breite von 2 Zoll und einer maximalen Breite von 6 Zoll.<\/span><\/p>\n Das hei\u00dft, wenn wir eine Schildkr\u00f6te zuf\u00e4llig ausw\u00e4hlen und die Breite ihres Panzers messen, ist es wahrscheinlich, dass sie auch zwischen 2 und 6 Zoll breit<\/em> ist.<\/span><\/p>\n Der folgende Code zeigt, wie man in R einen Datensatz erstellt, der die Ma\u00dfe der Panzerbreite von 1.000 Schildkr\u00f6ten enth\u00e4lt, gleichm\u00e4\u00dfig verteilt zwischen 2 und 6 Zoll:<\/span> <\/p>\n Beachten Sie, dass die Verteilung der Schildkr\u00f6tenpanzerbreiten normalerweise \u00fcberhaupt nicht verteilt ist.<\/span><\/p>\n Stellen Sie sich nun vor, wir nehmen wiederholt zuf\u00e4llige Stichproben von 5 Schildkr\u00f6ten aus dieser Population und messen den Stichprobenmittelwert immer wieder.<\/span><\/p>\n Der folgende Code zeigt, wie dieser Prozess in R durchgef\u00fchrt und ein Histogramm erstellt wird, um die Verteilung der Stichprobenmittelwerte zu visualisieren:<\/span> <\/p>\n Beachten Sie, dass die Stichprobenverteilung der Stichprobenmittelwerte normalverteilt erscheint, obwohl die Verteilung, aus der die Stichproben stammten, nicht normalverteilt war.<\/span><\/p>\n Beachten Sie auch den Stichprobenmittelwert und die Stichprobenstandardabweichung f\u00fcr diese Stichprobenverteilung:<\/span><\/p>\n Nehmen wir nun an, wir erh\u00f6hen die Stichprobengr\u00f6\u00dfe, die wir verwenden, von n=5 auf n=30 und erstellen das Histogramm der Stichprobenmittelwerte neu:<\/span> <\/p>\n Die Stichprobenverteilung ist wiederum normalverteilt<\/a> , die Stichprobenstandardabweichung ist jedoch noch kleiner:<\/span><\/p>\n Dies liegt daran, dass wir im Vergleich zum vorherigen Beispiel (n=5) eine gr\u00f6\u00dfere Stichprobengr\u00f6\u00dfe (n=30) verwendet haben, sodass die Standardabweichung der Stichprobenmittelwerte noch kleiner ist.<\/span><\/p>\n Wenn wir weiterhin immer gr\u00f6\u00dfere Stichproben verwenden, werden wir feststellen, dass die Stichprobenstandardabweichung immer kleiner wird.<\/span><\/p>\n Dies veranschaulicht den zentralen Grenzwertsatz in der Praxis.<\/span><\/p>\n Die folgenden Ressourcen bieten zus\u00e4tzliche Informationen zum zentralen Grenzwertsatz:<\/span><\/p>\n Eine Einf\u00fchrung in den zentralen Grenzwertsatz<\/a> Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Stichprobenverteilung eines Stichprobenmittelwerts ann\u00e4hernd normal ist, wenn die Stichprobengr\u00f6\u00dfe gro\u00df genug ist, auch wenn die Grundgesamtheitsverteilung nicht normal ist. Der zentrale Grenzwertsatz besagt au\u00dferdem, dass die Stichprobenverteilung die folgenden Eigenschaften haben wird: 1. Der Mittelwert der Stichprobenverteilung entspricht dem Mittelwert der Bev\u00f6lkerungsverteilung: x = \u00b5 2. Die Standardabweichung der […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[],"yoast_head":"\n Beispiel: Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes in R<\/strong><\/span><\/h3>\n
#make this example reproducible\nset. seeds<\/span> (0)\n\n#create random variable with sample size of 1000 that is uniformly distributed\n<\/span>data <- runif(n=1000, min=2, max=6)\n\n#create histogram to visualize distribution of turtle shell widths\n<\/span>hist(data, col=' steelblue<\/span> ', main=' Histogram of Turtle Shell Widths<\/span> ')\n<\/span><\/span><\/strong><\/pre>\n![\"\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/central1.jpg\")
<\/p>\n #create empty vector to hold sample means\n<\/span><\/span>sample5 <- c()\n\n#take 1,000 random samples of size n=5\n<\/span>n = 1000\nfor<\/span> (i in<\/span> 1:n){\nsample5[i] = mean(sample(data, 5, replace= TRUE<\/span> ))\n}\n\n#calculate mean and standard deviation of sample means\n<\/span>mean(sample5)\n\n[1] 4.008103\n\nsd(sample5)\n\n[1] 0.5171083 \n\n#create histogram to visualize sampling distribution of sample means\n<\/span>hist(sample5, col = ' steelblue<\/span> ', xlab=' Turtle Shell Width<\/span> ', main=' Sample size = 5<\/span> ')<\/span><\/span><\/strong> <\/pre>\n![\"\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/central2.jpg\")
<\/p>\n\n
#create empty vector to hold sample means\nsample30 <- c()\n\n#take 1,000 random samples of size n=30\n<\/span>n = 1000\nfor<\/span> (i in<\/span> 1:n){\nsample30[i] = mean(sample(data, 30, replace= TRUE<\/span> ))\n}\n\n#calculate mean and standard deviation of sample means\n<\/span>mean(sample30)\n\n[1] 4.000472\n\nsd(sample30)\n\n[1] 0.2003791\n\n#create histogram to visualize sampling distribution of sample means\n<\/span>hist(sample30, col = ' steelblue<\/span> ', xlab=' Turtle Shell Width<\/span> ', main=' Sample size = 30<\/span> ')<\/span><\/span><\/strong> <\/pre>\n![\"\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/central3.jpg\")
<\/p>\n\n
Zus\u00e4tzliche Ressourcen<\/strong><\/span><\/h3>\n
Zentraler Grenzwertsatz-Rechner<\/a>
5 Beispiele f\u00fcr die Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes im wirklichen Leben<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"