{"id":258,"date":"2023-08-03T11:26:47","date_gmt":"2023-08-03T11:26:47","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/hypothesentest-fur-den-mittelwert\/"},"modified":"2023-08-03T11:26:47","modified_gmt":"2023-08-03T11:26:47","slug":"hypothesentest-fur-den-mittelwert","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/hypothesentest-fur-den-mittelwert\/","title":{"rendered":"Hypothesentest f\u00fcr den mittelwert"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was Hypothesentests f\u00fcr den Mittelwert in der Statistik sind. So finden Sie die Hypothesentestformel f\u00fcr den Durchschnitt und zus\u00e4tzlich eine Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6ste \u00dcbung. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-prueba-de-hipotesis-para-la-media\"><\/span> Was ist ein Hypothesentest f\u00fcr den Mittelwert?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Das Testen von Hypothesen f\u00fcr den Mittelwert<\/strong> ist eine statistische Methode, die verwendet wird, um die Nullhypothese eines Populationsmittelwerts abzulehnen oder abzulehnen.<\/p>\n<p> Genauer gesagt umfasst das Testen von Hypothesen f\u00fcr den Mittelwert die Berechnung der Teststatistik und deren Vergleich mit dem kritischen Wert, um die Nullhypothese abzulehnen oder nicht.<\/p>\n<p> Es ist zu beachten, dass Hypothesentests unterschiedliche Namen haben; In der Statistik werden sie auch Hypothesenkontraste, Hypothesentests oder Signifikanztests genannt. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-prueba-de-hipotesis-para-la-media\"><\/span> Hypothesentestformel f\u00fcr den Mittelwert<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Als n\u00e4chstes werden wir sehen, wie die Hypothesenteststatistik f\u00fcr den Mittelwert berechnet wird. Allerdings variiert die Formel geringf\u00fcgig, je nachdem, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. Daher werden wir zun\u00e4chst sehen, wie sie durchgef\u00fchrt wird, wenn die Varianz bekannt ist, und dann, wenn die Varianz unbekannt ist.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"con-varianza-conocida\"><\/span> Mit bekannter Abweichung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Die <strong>Testhypotheseformel f\u00fcr den Mittelwert mit bekannter Varianz<\/strong> lautet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fdf1817a07bfb8c1eda9a8d8ccd8c828_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle Z=\\frac{\\overline{x}-\\mu}{\\displaystyle \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}} \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"57\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -34px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Gold:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0be116875001706f29a24434bd0d91c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Z\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"12\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Hypothesenteststatistik f\u00fcr den Mittelwert.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a39858a792fb4fe9a3173e004701f2a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist das Beispielmittel.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05d9eae892416bd34247a25207f8b718_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mu\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> ist der vorgeschlagene Durchschnittswert.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eaaf379fee5e67946f3fedf5631047b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Populationsstandardabweichung.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec4217f4fa5fcd92a9edceba0e708cf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Stichprobengr\u00f6\u00dfe.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Sobald die Hypothesenteststatistik f\u00fcr den Mittelwert berechnet ist, sollte das Ergebnis so interpretiert werden, dass es die Nullhypothese zur\u00fcckweist oder ablehnt:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Wenn der Hypothesentest f\u00fcr den Mittelwert zweiseitig ist, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn der Absolutwert der Statistik gr\u00f6\u00dfer als der kritische Wert Z <sub>\u03b1\/2<\/sub> ist.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Wenn der Hypothesentest f\u00fcr den Mittelwert mit dem rechten Ende \u00fcbereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik gr\u00f6\u00dfer als der kritische Wert Z <sub>\u03b1<\/sub> ist.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Wenn der Hypothesentest f\u00fcr den Mittelwert mit dem linken Ende \u00fcbereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik kleiner als der kritische Wert -Z <sub>\u03b1<\/sub> ist.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e2ccadfc369eb7543b8f86dfccc528e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}H_1: \\mu\\neq \\mu_0 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\text{Si } |Z|>Z_{\\alpha\/2} \\text{ se rechaza } H_0\\\\[3ex]H_1: \\mu> \\mu_0 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\text{Si } Z>Z_{\\alpha} \\text{ se rechaza } H_0\\\\[3ex]H_1: \\mu< \\mu_0 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\text{Si } Z<-Z_{\\alpha} \\text{ se rechaza } H_0\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"440\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Fall werden die kritischen Werte aus der <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/normalverteilungstabelle\/\">standardisierten Normalverteilungstabelle<\/a> gewonnen.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"con-varianza-desconocida\"><\/span> Mit unbekannter Varianz<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Die <strong>Testhypotheseformel f\u00fcr den Mittelwert mit unbekannter Varianz<\/strong> lautet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8277d83b2d28325f25f5d118486200f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle t=\\frac{\\overline{x}-\\mu}{\\displaystyle \\frac{s}{\\sqrt{n}}} \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"57\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -34px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Gold:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd9cb27edab3f0a8a249bc80cc9c6ee2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"6\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Hypothesenteststatistik f\u00fcr den Mittelwert, der durch eine <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/verteilung-der-studierenden\/\">Student-t-Verteilung<\/a> definiert ist.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a39858a792fb4fe9a3173e004701f2a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist das Beispielmittel.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05d9eae892416bd34247a25207f8b718_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mu\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> ist der vorgeschlagene Durchschnittswert.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1edc883862ceed1a21913f60358e31d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Standardabweichung der Stichprobe.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec4217f4fa5fcd92a9edceba0e708cf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Stichprobengr\u00f6\u00dfe.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Wie zuvor muss das berechnete Ergebnis der Teststatistik mit dem kritischen Wert interpretiert werden, um die Nullhypothese abzulehnen oder nicht:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Wenn der Hypothesentest f\u00fcr den Mittelwert zweiseitig ist, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn der Absolutwert der Statistik gr\u00f6\u00dfer als der kritische Wert t <sub>\u03b1\/2|n-1<\/sub> ist.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Wenn der Hypothesentest f\u00fcr den Mittelwert mit dem rechten Ende \u00fcbereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik gr\u00f6\u00dfer als der kritische Wert t <sub>\u03b1|n-1<\/sub> ist.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Wenn der Hypothesentest f\u00fcr den Mittelwert mit dem linken Ende \u00fcbereinstimmt, wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Statistik kleiner als der kritische Wert -t <sub>\u03b1|n-1<\/sub> ist.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31fb206b75a47181c7c673f54ba28ee8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}H_1: \\mu\\neq \\mu_0 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\text{Si } |t|>t_{\\alpha\/2|n-1} \\text{ se rechaza } H_0\\\\[3ex]H_1: \\mu> \\mu_0 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\text{Si } t>t_{\\alpha|n-1} \\text{ se rechaza } H_0\\\\[3ex]H_1: \\mu< \\mu_0 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\text{Si } t<-t_{\\alpha|n-1} \\text{ se rechaza } H_0\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"112\" width=\"457\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wenn die Varianz unbekannt ist, werden die kritischen Testwerte aus der Student-Verteilungstabelle ermittelt. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-resuelto-de-la-prueba-de-hipotesis-para-la-media\"><\/span> Beispiel aus der Praxis f\u00fcr die Pr\u00fcfung von Hypothesen auf den Mittelwert<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Um das Konzept des Hypothesentests f\u00fcr den Grundgesamtheitsmittelwert vollst\u00e4ndig zu verstehen, k\u00f6nnen Sie sich unten ein reales Beispiel f\u00fcr diese Art von Hypothesentests ansehen.<\/p>\n<ul>\n<li> Ein Technologieunternehmen gibt an, dass der Akku des von ihm verkauften Laptops 6 Stunden h\u00e4lt. Wir \u00fcberpr\u00fcfen, ob diese Hypothese falsch ist, indem wir einen Hypothesentest mit einem Signifikanzniveau \u03b1 = 0,05 durchf\u00fchren. Zu diesem Zweck wird beschlossen, 20 Einheiten zu kaufen und die Akkulaufzeit jedes Computers zu beobachten (Werte werden in Stunden ausgedr\u00fcckt):<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"> 5,2 5,9 7,1 4,2 6,5<br \/> 8,5 4,6 6,8 6,9 5,8<br \/> 5,1 6,5 7,0 5,3 6,2<br \/> 5,7 6,6 7,5 5,1 6,1<\/p>\n<p> In diesem Fall lauten die <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/null-und-alternativhypothese\/\">Null- und Alternativhypothese<\/a> des Hypothesentests \u00fcber den Mittelwert wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-329ffe392783b8bee1eef642d1a45f53_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases}H_0: \\mu=6\\\\[2ex] H_1:\\mu\\neq 6 \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"93\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um die Teststatistik zu bestimmen, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst den Stichprobenmittelwert und die Stichprobenstandardabweichung berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef07dbee8f95fc767bc069bd738bb493_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x}=6,13 \\qquad s=1,05\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"169\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da wir die Populationsvarianz nicht kennen, m\u00fcssen wir zum Erhalten der Teststatistik die Hypothesentestformel f\u00fcr den Mittelwert mit unbekannter Varianz anwenden: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8277d83b2d28325f25f5d118486200f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle t=\\frac{\\overline{x}-\\mu}{\\displaystyle \\frac{s}{\\sqrt{n}}} \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"57\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -34px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-447879c9f526afed74796d347fd69c97_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle t=\\frac{6,13-6}{\\displaystyle \\frac{1,05}{\\sqrt{20}}} \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"62\" width=\"98\" style=\"vertical-align: -38px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e0e63621349c12eec107c43152b5213c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle t=0,68\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Jetzt m\u00fcssen wir den kritischen Wert des Hypothesentests ermitteln, also suchen wir in der <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/schuler-t-verteilungstabelle\/\">Student-t-Verteilungstabelle<\/a> nach dem entsprechenden Wert. Die Freiheitsgrade von Student&#8217;s t sind eins kleiner als die Stichprobengr\u00f6\u00dfe (20-1=19) und andererseits betr\u00e4gt die entsprechende Wahrscheinlichkeit die H\u00e4lfte des Signifikanzniveaus (0,05\/2=0,025), da es zweiseitig ist Hypothesentest.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8154fa6e5bfee35698c6dc26928cd98c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\alpha=0,05 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\ \\alpha\/2=0,025\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"300\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e85692dfb2fb2522025566dc205b8117_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}t_{\\alpha\/2| n-1}= \\ \\color{orange}\\bm{?}\\\\[4ex]t_{0,025| 19}=2,093\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"72\" width=\"152\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zusammenfassend l\u00e4sst sich sagen, dass die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, da es sich um einen zweiseitigen Hypothesentest handelt und der absolute Wert der Teststatistik kleiner als der kritische Wert ist, sondern die Alternativhypothese. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e46ceecc8ebcda6dd88ec4d3771c285_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0,68<2,093 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\text{Se rechaza } H_1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"345\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"prueba-de-hipotesis-para-la-diferencia-de-medias\"><\/span> Hypothesentest auf Mittelwertunterschiede<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Der <strong>Mittelwertdifferenz-Hypothesetest<\/strong> wird verwendet, um die Nullhypothese, dass die Mittelwerte zweier Grundgesamtheiten gleich sind, abzulehnen oder zu akzeptieren.<\/p>\n<p> Somit lautet die Nullhypothese eines Hypothesentests f\u00fcr die Differenz zweier Mittelwerte immer wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2945a64bf97e1c02ac7fb56bbf1f215b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"H_0: \\mu_1=\\mu_2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> W\u00e4hrend die Alternativhypothese eine der folgenden drei sein kann:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c612ac7651faad9faa195f37fdf6edef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}H_1:\\mu_1\\neq \\mu_2\\\\[2ex]H_1:\\mu_1>\\mu_2\\\\[2ex]H_1:\\mu_1<\\mu_2\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"92\" width=\"97\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dann lautet die <strong>Formel zur Berechnung der Hypothesenteststatistik f\u00fcr die Mittelwertdifferenz bei bekannter Varianz<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83c9d3ddf8c2ff8b9cf2b0fa4ac8082e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle Z=\\frac{\\displaystyle \\overline{x_1}-\\overline{x_2}}{\\displaystyle\\sqrt{\\frac{\\sigma_1^2}{n_1}+\\frac{\\sigma_2^2}{n_2}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"75\" width=\"123\" style=\"vertical-align: -52px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Gold:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0be116875001706f29a24434bd0d91c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Z\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"12\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Hypothesenteststatistik f\u00fcr die Differenz zweier Mittelwerte mit bekannter Varianz, die einer Standardnormalverteilung folgt.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1436bb55d331d1efe559fd1e55245851_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x_1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist der Mittelwert von Stichprobe 1.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f06b28a75570ecb4df1371dea2d9f2b7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x_2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist der Mittelwert von Stichprobe 2.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c2e8ce841b1fc1e199b133e6f24f6f51_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma_1^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die Varianz der Grundgesamtheit 1.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5fd430c9ff19057933c215e683ace41_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma_2^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die Varianz der Grundgesamtheit 2.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cebc0a013985f2695aeb53ded9e7afb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n_1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist Stichprobengr\u00f6\u00dfe 1.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf1e42c248eee22a0911c24c95fe28f0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n_2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist Stichprobengr\u00f6\u00dfe 2.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Andererseits lautet die <strong>Formel zur Berechnung der Hypothesenteststatistik f\u00fcr die Mittelwertdifferenz bei unbekannter Varianz<\/strong> wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e9fbc7bf6d5bbaeb18a3992a3f373a55_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle t=\\frac{\\displaystyle \\overline{x_1}-\\overline{x_2}}{\\displaystyle\\sqrt{\\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\\sqrt{\\frac{1}{n_1}+\\frac{1}{n_2}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"75\" width=\"317\" style=\"vertical-align: -52px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Gold:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd9cb27edab3f0a8a249bc80cc9c6ee2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"6\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Hypothesenteststatistik f\u00fcr die Differenz zweier Mittelwerte mit unbekannter Varianz, die der Student-t-Verteilung folgt.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1436bb55d331d1efe559fd1e55245851_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x_1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist der Mittelwert von Stichprobe 1.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f06b28a75570ecb4df1371dea2d9f2b7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x_2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist der Mittelwert von Stichprobe 2.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59ae3c411ec80f65d56e397f87d29753_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s_1^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die Varianz von Stichprobe 1.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c785df8c080b6984c6205f881426fb10_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s_2^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist die Varianz von Stichprobe 2.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cebc0a013985f2695aeb53ded9e7afb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n_1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist Stichprobengr\u00f6\u00dfe 1.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf1e42c248eee22a0911c24c95fe28f0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n_2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist Stichprobengr\u00f6\u00dfe 2.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erkl\u00e4rt, was Hypothesentests f\u00fcr den Mittelwert in der Statistik sind. 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