{"id":2600,"date":"2023-07-21T13:32:57","date_gmt":"2023-07-21T13:32:57","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/fisher-z-transformation\/"},"modified":"2023-07-21T13:32:57","modified_gmt":"2023-07-21T13:32:57","slug":"fisher-z-transformation","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/fisher-z-transformation\/","title":{"rendered":"Fisher-z-transformation: definition und beispiel"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Die <strong>Fisher-Z-Transformation<\/strong> ist eine Formel, mit der wir den Pearson-Korrelationskoeffizienten (r) in einen Wert (z <sub>r<\/sub> ) umwandeln k\u00f6nnen, der zur Berechnung eines Konfidenzintervalls f\u00fcr den Pearson-Korrelationskoeffizienten verwendet werden kann.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Formel lautet wie folgt:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">z <sub>r<\/sub> = ln((1+r) \/ (1-r)) \/ 2<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wenn sich beispielsweise herausstellt, dass der Pearson-Korrelationskoeffizient zwischen zwei Variablen <strong>r<\/strong> = 0,55 ist, dann w\u00fcrden wir <strong><sub>zr<\/sub><\/strong> wie folgt berechnen:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">z <sub>r<\/sub> = ln((1+r) \/ (1-r)) \/ 2<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">z <sub>r<\/sub> = ln((1+.55) \/ (1-.55)) \/ 2<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">z <sub>r<\/sub> = 0,618<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Es stellt sich heraus, dass die <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/stichprobenverteilung-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Stichprobenverteilung<\/a> dieser transformierten Variablen einer <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/die-normalverteilung\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Normalverteilung<\/a> folgt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Dies ist wichtig, da wir damit ein Konfidenzintervall f\u00fcr einen Pearson-Korrelationskoeffizienten berechnen k\u00f6nnen.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ohne die Durchf\u00fchrung dieser Fisher-Z-Transformation w\u00e4ren wir nicht in der Lage, ein zuverl\u00e4ssiges Konfidenzintervall f\u00fcr den Pearson-Korrelationskoeffizienten zu berechnen.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Das folgende Beispiel zeigt, wie man in der Praxis ein Konfidenzintervall f\u00fcr einen Pearson-Korrelationskoeffizienten berechnet.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Beispiel: Berechnung eines Konfidenzintervalls f\u00fcr den Korrelationskoeffizienten<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Angenommen, wir m\u00f6chten den Korrelationskoeffizienten zwischen der Gr\u00f6\u00dfe und dem Gewicht der Einwohner eines bestimmten Landkreises sch\u00e4tzen. Wir w\u00e4hlen eine Zufallsstichprobe von 60 Einwohnern aus und finden folgende Informationen:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Stichprobengr\u00f6\u00dfe <strong>n = 60<\/strong><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Korrelationskoeffizient zwischen Gr\u00f6\u00dfe und Gewicht <strong>r = 0,56<\/strong><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">So ermitteln Sie ein 95 %-Konfidenzintervall f\u00fcr den Bev\u00f6lkerungskorrelationskoeffizienten:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 1: F\u00fchren Sie die Fisher-Transformation durch.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Sei z <sub>r<\/sub> = ln((1+r) \/ (1-r)) \/ 2 = ln((1+.56) \/ (1-.56)) \/ 2 = <strong>0,6328<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 2: Ermitteln Sie die Ober- und Untergrenze des Protokolls.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Sei L = z <sub>r<\/sub> \u2013 (z <sub>1-\u03b1\/2<\/sub> \/\u221a <span style=\"border-top: 1px solid black;\">n-3<\/span> ) = 0,6328 \u2013 (1,96 \/\u221a <span style=\"border-top: 1px solid black;\">60-3<\/span> ) = <strong>0,373<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Sei U = z <sub>r<\/sub> + (z <sub>1-\u03b1\/2<\/sub> \/\u221a <span style=\"border-top: 1px solid black;\">n-3<\/span> ) = 0,6328 + (1,96 \/\u221a <span style=\"border-top: 1px solid black;\">60-3<\/span> ) = <strong>0,892<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Schritt 3: Finden Sie das Konfidenzintervall.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Konfidenzintervall = [(e <sup>2L<\/sup> -1)\/(e <sup>2L<\/sup> +1), (e <sup>2U<\/sup> -1)\/(e <sup>2U<\/sup> +1)]<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Konfidenzintervall = [(e <sup>2(.373)<\/sup> -1)\/(e <sup>2(.373)<\/sup> +1), (e <sup>2(.892)<\/sup> -1)\/(e <sup>2(.892)<\/sup> +1)] = <strong>[ .3568, .7126]<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Hinweis:<\/strong> Sie k\u00f6nnen dieses Konfidenzintervall auch mithilfe des <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/konfidenzintervall-korrelationskoeffizienten-rechner\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Konfidenzintervalls f\u00fcr einen Korrelationskoeffizientenrechner<\/a> ermitteln.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Dieses Intervall liefert uns einen Wertebereich, der mit hoher Wahrscheinlichkeit den wahren Pearson-Korrelationskoeffizienten zwischen Gewicht und Populationsgr\u00f6\u00dfe mit hoher Sicherheit enth\u00e4lt.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Beachten Sie die Bedeutung der Fisher-Z-Transformation: Dies war der erste Schritt, den wir durchf\u00fchren mussten, bevor wir das Konfidenzintervall tats\u00e4chlich berechnen konnten.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Zus\u00e4tzliche Ressourcen<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/pearson-korrelationskoeffizient-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Einf\u00fchrung in den Pearson-Korrelationskoeffizienten<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/pearson-korrelationshypothesen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Die f\u00fcnf Hypothesen der Pearson-Korrelation<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/korrelationskoeffizient-von-hand\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">So berechnen Sie manuell einen Pearson-Korrelationskoeffizienten<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Die Fisher-Z-Transformation ist eine Formel, mit der wir den Pearson-Korrelationskoeffizienten (r) in einen Wert (z r ) umwandeln k\u00f6nnen, der zur Berechnung eines Konfidenzintervalls f\u00fcr den Pearson-Korrelationskoeffizienten verwendet werden kann. 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