{"id":275,"date":"2023-08-03T05:34:09","date_gmt":"2023-08-03T05:34:09","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/stichprobenverteilung-des-mittelwerts\/"},"modified":"2023-08-03T05:34:09","modified_gmt":"2023-08-03T05:34:09","slug":"stichprobenverteilung-des-mittelwerts","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/stichprobenverteilung-des-mittelwerts\/","title":{"rendered":"Stichprobenverteilung des mittelwerts"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erl\u00e4utert, wie die Stichprobenverteilung des Mittelwerts in der Statistik aussieht. Au\u00dferdem finden Sie die Formel f\u00fcr die mittlere Stichprobenverteilung und eine Schritt-f\u00fcr-Schritt-L\u00f6sung f\u00fcr die \u00dcbung. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-distribucion-muestral-de-la-media\"><\/span> Wie ist die Stichprobenverteilung des Mittelwerts?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die <strong>Stichprobenverteilung des Mittelwerts<\/strong> (oder <strong>Stichprobenverteilung der Mittelwerte<\/strong> ) ist die Verteilung, die sich aus der Berechnung des Stichprobenmittelwerts jeder m\u00f6glichen Stichprobe aus einer Grundgesamtheit ergibt. Das hei\u00dft, die Menge der <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/stichprobendurchschnitt\/\">Stichprobenmittelwerte<\/a> aller m\u00f6glichen Stichproben einer Grundgesamtheit bildet die Stichprobenverteilung des Mittelwerts.<\/p>\n<p> Mit anderen Worten: Wenn wir alle Stichproben untersuchen, die einer Grundgesamtheit entnommen werden k\u00f6nnen, und den Durchschnitt jeder Stichprobe berechnen, bildet die Menge der berechneten Werte eine Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts.<\/p>\n<p> In der Statistik wird die Stichprobenverteilung des Mittelwerts verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass man sich bei der Analyse einer einzelnen Stichprobe dem Wert des Grundgesamtheitsmittelwerts ann\u00e4hert. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-distribucion-muestral-de-la-media\"><\/span> Formel f\u00fcr die Stichprobenverteilung des Mittelwerts<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Gegeben sei eine Grundgesamtheit, die einer <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/normalverteilung\/\">normalen Wahrscheinlichkeitsverteilung<\/a> mit Mittelwert folgt<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05d9eae892416bd34247a25207f8b718_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mu\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> und Standardabweichung<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eaaf379fee5e67946f3fedf5631047b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> und Gr\u00f6\u00dfenproben werden extrahiert<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec4217f4fa5fcd92a9edceba0e708cf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> , wird die Stichprobenverteilung des Mittelwerts auch durch eine Normalverteilung mit den folgenden Merkmalen definiert:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-44571aa7337b095ab9c9fa1f746e93a5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}\\mu_{\\overline{x}}=\\mu \\qquad \\sigma_{\\overline{x}}=\\cfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}\\\\[4ex]\\displaystyle N_{\\overline{x}}\\left(\\mu, \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}\\right) \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"159\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Gold<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ed084decbdfb365889aae767cf63e81_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mu_{\\overline{x}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"20\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> ist der Mittelwert der Stichprobenverteilung des Mittelwerts und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9067e28d896c7e5278763081c6cc40d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma_{\\overline{x}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"19\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist seine Standardabweichung. Au\u00dferdem,<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d78e2a2f2fae99a53eb087263cbb478_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<p> ist der Standardfehler der Stichprobenverteilung.<\/p>\n<p> <strong>Hinweis:<\/strong> Wenn die Grundgesamtheit keiner Normalverteilung folgt, aber die Stichprobengr\u00f6\u00dfe gro\u00df ist (n&gt;30), kann die Stichprobenverteilung des Mittelwerts auch durch den zentralen Grenzwertsatz an die vorherige Normalverteilung angen\u00e4hert werden.<\/p>\n<p> Da die Stichprobenverteilung des Mittelwerts einer Normalverteilung folgt, lautet die <strong>Formel zur Berechnung aller Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit dem Stichprobenmittelwert<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ecd8bcb78b739c50d01b8bad563e5cb7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Z=\\cfrac{\\overline{x}-\\mu}{\\displaystyle\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"58\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -34px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Gold:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a39858a792fb4fe9a3173e004701f2a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist das Beispielmittel.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05d9eae892416bd34247a25207f8b718_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mu\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> Dies ist der Bev\u00f6lkerungsdurchschnitt.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1edc883862ceed1a21913f60358e31d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Populationsstandardabweichung.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec4217f4fa5fcd92a9edceba0e708cf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Stichprobengr\u00f6\u00dfe.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0be116875001706f29a24434bd0d91c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Z\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"12\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist eine durch die Standardnormalverteilung N(0,1) definierte Variable. <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-resuelto-de-la-distribucion-muestral-de-la-media\"><\/span> Praxisbeispiel f\u00fcr die Stichprobenverteilung des Mittelwerts<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir die Definition der Stichprobenverteilung des Mittelwerts und die damit verbundenen Formeln kennengelernt haben, l\u00f6sen wir ein Beispiel, um das Konzept besser zu verstehen.<\/p>\n<ul>\n<li> Das Gewicht der Universit\u00e4tsstudenten folgt einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 68 kg und einer Standardabweichung von 9 kg. Bestimmt:\n<ol>\n<li> Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchschnitt einer Zufallsstichprobe von 25 Sch\u00fclern weniger als 66 kg wiegt?<\/li>\n<li> Wenn 300 Proben mit einer Gr\u00f6\u00dfe von jeweils 25 Sch\u00fclern entnommen werden, wie viele Probenmittelwerte haben dann einen Wert von weniger als 66 kg?<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p> Zun\u00e4chst m\u00fcssen wir den Wert der entsprechenden Statistik berechnen. Dazu wenden wir die Formel an, die wir oben gesehen haben:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b132f95081cac0e4028d5e8148514671_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle Z=\\frac{\\overline{x}-\\mu}{\\displaystyle\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}}=\\frac{66-68}{\\displaystyle\\frac{9}{\\sqrt{25}}}=-1,11\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"62\" width=\"238\" style=\"vertical-align: -38px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die gesuchte Wahrscheinlichkeit entspricht daher dem Wert Z=-1,11 des linken Endes der Standardnormalverteilung, der leicht aus der Z-Wahrscheinlichkeitstabelle ermittelt werden kann. Wir verwenden daher die Z-Tabelle, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, mit der das Problem uns fragt: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0db3a516f2be44a78c4f69958a9f0d51_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P[\\overline{x}\\leq 66]=P[Z\\leq -1,11] =0,1335\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"283\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/normalverteilungstabelle\/\">Tabelle Z<\/a><\/div>\n<p> Nachdem wir nun die Wahrscheinlichkeit kennen, dass der Mittelwert einer Zufallsprobe weniger als 66 kg betr\u00e4gt, m\u00fcssen wir die berechnete Wahrscheinlichkeit mit der Gesamtzahl der entnommenen Proben multiplizieren, um zu wissen, wie viele Proben bei 300 gleichen Proben weniger als 66 kg betragen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d2519cbeabf4b272e6f5a1463472768_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0,1335\\cdot 300 =40,05 \\approx 40\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"200\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher werden etwa 40 der entnommenen Proben im Durchschnitt weniger als 66 kg wiegen.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erl\u00e4utert, wie die Stichprobenverteilung des Mittelwerts in der Statistik aussieht. 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