{"id":277,"date":"2023-08-03T05:03:01","date_gmt":"2023-08-03T05:03:01","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/stichprobenverteilung-der-mittelwertdifferenz\/"},"modified":"2023-08-03T05:03:01","modified_gmt":"2023-08-03T05:03:01","slug":"stichprobenverteilung-der-mittelwertdifferenz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/stichprobenverteilung-der-mittelwertdifferenz\/","title":{"rendered":"Stichprobenverteilung der mittelwertdifferenz"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erl\u00e4utert, wie die Stichprobenverteilung der Differenz zwischen zwei Mittelwerten in der Statistik aussieht. Au\u00dferdem finden Sie die Formel zur Stichprobenverteilung der Mittelwertdifferenz und zus\u00e4tzlich eine Schritt-f\u00fcr-Schritt-L\u00f6sung. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-distribucion-muestral-de-la-diferencia-de-medias\"><\/span> Wie ist die Stichprobenverteilung der Mittelwertdifferenz?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die <strong>Stichprobenverteilung der Mittelwertdifferenz<\/strong> ist die Verteilung, die sich aus der Berechnung der Differenzen zwischen den Mittelwerten aller m\u00f6glichen Stichproben aus zwei verschiedenen Grundgesamtheiten ergibt.<\/p>\n<p> Das hei\u00dft, um die Stichprobenverteilung der Differenz der Mittelwerte zu erhalten, m\u00fcssen alle m\u00f6glichen Stichproben aus zwei Studienpopulationen ausgew\u00e4hlt werden, dann wird der Mittelwert jeder ausgew\u00e4hlten Stichprobe berechnet und schlie\u00dflich wird die Differenz zwischen allen Mittelwerten aus den beiden Populationen berechnet. Somit bildet der nach Anwendung all dieser Operationen erhaltene Wertesatz die Stichprobenverteilung der Mittelwertdifferenz. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/distribution-de-lechantillon-de-la-difference-de-moyennes.png\" alt=\"Stichprobenverteilung der Mittelwertdifferenz\" class=\"wp-image-5927\" width=\"561\" height=\"237\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<p> Die Differenz der Mittelwerte der Stichprobenverteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die Differenz zwischen zwei <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/stichprobendurchschnitt\/\">Mittelwerten zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlter Stichproben<\/a> aus zwei verschiedenen Grundgesamtheiten nahe an der Differenz der Mittelwerte der Grundgesamtheit liegt. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/stichprobenverteilung-des-mittelwerts\/\">Stichprobenverteilung des Mittelwerts<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-distribucion-muestral-de-la-diferencia-de-medias\"><\/span> Formel f\u00fcr die Stichprobenverteilung der Mittelwertdifferenz<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wenn die Stichprobengr\u00f6\u00dfe gro\u00df genug ist (n <sub>1<\/sub> \u2265 30 und n <sub>2<\/sub> \u2265 30), folgt die Stichprobenverteilung der Mittelwertdifferenz einer Normalverteilung. Genauer gesagt werden die Parameter dieser Verteilung wie folgt berechnet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-90c67b74b4e9326b7869d641a59725d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}\\displaystyle \\mu_{\\overline{x_1}-\\overline{x_2}}=\\mu_1-\\mu_2 \\qquad \\sigma_{\\overline{x_1}-\\overline{x_2}}=\\sqrt{\\frac{\\sigma_1^2}{n_1}+\\frac{\\sigma_2^2}{n_2}}\\\\[6ex]\\displaystyle N_{\\overline{x_1}-\\overline{x_2}}\\left(\\mu_1-\\mu_2, \\sqrt{\\frac{\\sigma_1^2}{n_1}+\\frac{\\sigma_2^2}{n_2}}\\right) \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"151\" width=\"328\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <strong>Hinweis:<\/strong> Wenn es sich bei beiden Grundgesamtheiten um <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/normalverteilung\/\">Normalverteilungen<\/a> handelt, folgt die Stichprobenverteilung der Mittelwertdifferenz unabh\u00e4ngig von der Stichprobengr\u00f6\u00dfe einer Normalverteilung.<\/p>\n<p> Da die Stichprobenverteilung der Mittelwertdifferenz durch eine Normalverteilung definiert ist, lautet die <strong>Formel zur Berechnung der Statistik der Stichprobenverteilung der Mittelwertdifferenz<\/strong> daher:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-767964a3f07b303178ee08ec191eef43_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Z=\\cfrac{(\\overline{x_1}-\\overline{x_2})-(\\mu_1-\\mu_2)}{\\displaystyle\\sqrt{\\frac{\\sigma_1^2}{n_1}+\\frac{\\sigma_2^2}{n_2}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"80\" width=\"203\" style=\"vertical-align: -52px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Gold:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a4071a38558726a684ed069430c89fe2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x_i}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist der Mittelwert der Stichprobe i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-78e04dacbf6a47efcbdcc0417020dcbb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mu_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> ist der Mittelwert der Bev\u00f6lkerung i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc8c8f782c0ed8b7925012b60e174fa3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f087375b50e0b49186779714206626b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist die Stichprobengr\u00f6\u00dfe i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0be116875001706f29a24434bd0d91c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Z\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"12\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist eine durch die Standardnormalverteilung N(0,1) definierte Variable.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Beachten Sie, dass Stichproben aus verschiedenen Populationen unterschiedliche Stichprobengr\u00f6\u00dfen haben k\u00f6nnen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-resuelto-de-la-distribucion-muestral-de-la-diferencia-de-medias\"><\/span> Konkretes Beispiel f\u00fcr die Stichprobenverteilung der Mittelwertdifferenz<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Sobald wir die Definition der Differenz der Mittelwert-Stichprobenverteilung und ihre Formel gesehen haben, sehen wir uns ein Schritt-f\u00fcr-Schritt-Beispiel an, um das Konzept der Differenz der Mittelwert-Stichprobenverteilung vollst\u00e4ndig zu verstehen.<\/p>\n<ul>\n<li> In einer statistischen Studie wollen wir den Unterschied zwischen der K\u00f6rpergr\u00f6\u00dfe von Jungen und M\u00e4dchen eines bestimmten Alters analysieren. Wir wissen, dass die Verteilung, die die Population der Jungen dieses Alters definiert, einen Mittelwert von 157 cm und eine Standardabweichung von 9 cm aufweist, und dass andererseits die Verteilung, die die Population der M\u00e4dchen dieses Alters definiert, einen Mittelwert von 148 hat cm und einer Standardabweichung von 7 cm. Wenn eine Stichprobe von 30 Jungen dieses Alters und eine Stichprobe von 35 M\u00e4dchen dieses Alters ausgew\u00e4hlt werden, wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass die durchschnittliche Gr\u00f6\u00dfe der Stichprobe der Jungen 12 cm gr\u00f6\u00dfer ist als die durchschnittliche Gr\u00f6\u00dfe der Stichprobe der M\u00e4dchen?<\/li>\n<\/ul>\n<p> Um dieses Problem zu l\u00f6sen, muss zun\u00e4chst die Statistik der Differenz der mittleren Stichprobenverteilung berechnet werden. Wir wenden daher die oben gezeigte Formel an:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3897bf456851ccd8de2c501bd779dd02_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Z=\\cfrac{(\\overline{x_1}-\\overline{x_2})-(\\mu_1-\\mu_2)}{\\displaystyle\\sqrt{\\frac{\\sigma_1^2}{n_1}+\\frac{\\sigma_2^2}{n_2}}\\right)}=\\cfrac{12-(157-148)}{\\displaystyle\\sqrt{\\frac{9^2}{30}+\\frac{7^2}{35}}}=1,48\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"80\" width=\"415\" style=\"vertical-align: -52px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher entspricht die Wahrscheinlichkeit, dass die durchschnittliche Stichprobengr\u00f6\u00dfe von Jungen 12 cm gr\u00f6\u00dfer ist als die durchschnittliche Gr\u00f6\u00dfe von M\u00e4dchen, der Wahrscheinlichkeit, dass die Z-Variable gr\u00f6\u00dfer als 1,48 ist.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-683cd2a72980115d8d18c906d619370a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P[(\\overline{x_1}-\\overline{x_2})>12]=P[Z>1,48]&#8220; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;19&#8243; width=&#8220;253&#8243; style=&#8220;vertical-align: -5px;&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir suchen daher in der <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/normalverteilungstabelle\/\">Tabelle von Z<\/a> nach der Wahrscheinlichkeit von Z&gt;1,48:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5b83fdc11bd2320249679c4752660451_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P[(\\overline{x_1}-\\overline{x_2})>12]=P[Z>1,48]=0,0694&#8243; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;19&#8243; width=&#8220;331&#8243; style=&#8220;vertical-align: -5px;&#8220;><\/p>\n<\/p>\n<p> Kurz gesagt betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit, dass die durchschnittliche Stichprobengr\u00f6\u00dfe von Jungen 12 cm gr\u00f6\u00dfer ist als die durchschnittliche Gr\u00f6\u00dfe von M\u00e4dchen, 6,94 %.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel wird erl\u00e4utert, wie die Stichprobenverteilung der Differenz zwischen zwei Mittelwerten in der Statistik aussieht. 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