{"id":2820,"date":"2023-07-20T13:24:30","date_gmt":"2023-07-20T13:24:30","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/de\/wahrscheinlichkeit-von-mindestens-drei\/"},"modified":"2023-07-20T13:24:30","modified_gmt":"2023-07-20T13:24:30","slug":"wahrscheinlichkeit-von-mindestens-drei","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/de\/wahrscheinlichkeit-von-mindestens-drei\/","title":{"rendered":"So ermitteln sie die erfolgswahrscheinlichkeit \u201emindestens drei\u201c."},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Wir k\u00f6nnen die folgende allgemeine Formel verwenden, um die <strong>Wahrscheinlichkeit von mindestens drei Erfolgen<\/strong> in einer Reihe von Versuchen zu ermitteln:<\/span><\/p>\n<pre style=\"background-color: #ececec; font-size: 17px;\"> <strong>P(at least 3) = 1 - P(0 successes) - P(1 success) - P(2 successes)<\/strong><\/pre>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In der obigen Formel k\u00f6nnen wir jede Wahrscheinlichkeit mithilfe der folgenden Formel f\u00fcr die <a href=\"https:\/\/statorials.org\/de\/binomialverteilung-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Binomialverteilung<\/a> berechnen:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=k) = <sub>n<\/sub> C <sub>k<\/sub> * p <sup>k<\/sup> * (1-p) <sup>nk<\/sup><\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gold:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>n:<\/strong> Anzahl der Versuche<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>k:<\/strong> Anzahl der Erfolge<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>p:<\/strong> Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem bestimmten Versuch<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong><sub>n<\/sub> C <sub>k<\/sub> :<\/strong> die Anzahl der M\u00f6glichkeiten, in <em>n<\/em> Versuchen <em>k<\/em> Erfolge zu erzielen<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die folgenden Beispiele zeigen, wie Sie mit dieser Formel die Wahrscheinlichkeit von \u201emindestens drei\u201c Erfolgen in verschiedenen Szenarien ermitteln.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Beispiel 1: Freiwurfversuche<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ty macht 25 % seiner Freiwurfversuche. Wenn er f\u00fcnf Freiw\u00fcrfe versucht, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens drei Freiw\u00fcrfe macht.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Berechnen wir zun\u00e4chst die Wahrscheinlichkeit, dass er genau null, genau einen oder genau zwei Freiw\u00fcrfe macht:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=0)<\/strong> = <sub>5<\/sub> C <sub>0<\/sub> * 0,25 <sup>0<\/sup> * (1-0,25) <sup>5-0<\/sup> = 1 * 1 * 0,75 <sup>5<\/sup> = <strong>0,2373<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=1)<\/strong> = <sub>5<\/sub> C <sub>1<\/sub> * 0,25 <sup>1<\/sup> * (1-0,25) <sup>5-1<\/sup> = 5 * 0,25 * 0,75 <sup>4<\/sup> = <strong>0,3955<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=2)<\/strong> = <sub>5<\/sub> C <sub>2<\/sub> * 0,25 <sup>2<\/sup> * (1-0,25) <sup>5-2<\/sup> = 10 * 0,0625 * 0,75 <sup>3<\/sup> = <strong>0,2636<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Als n\u00e4chstes setzen wir diese Werte in die folgende Formel ein, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass Ty mindestens drei Freiw\u00fcrfe macht:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(X\u22653) = 1 \u2013 P(X=0) \u2013 P(X=1) \u2013 P(X=2)<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(X\u22653) = 1 \u2013 0,2373 \u2013 0,3955 \u2013 0,2636<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(X\u22653) = <strong>0,1036<\/strong><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Wahrscheinlichkeit, dass Ty in f\u00fcnf Versuchen mindestens drei Freiw\u00fcrfe macht, betr\u00e4gt <strong>0,1036<\/strong> .<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Beispiel 2: Widgets<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">In einer bestimmten Fabrik sind 2 % aller Widgets defekt. Bestimmen Sie in einer Zufallsstichprobe von 10 Widgets die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei defekt sind.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Berechnen wir zun\u00e4chst die Wahrscheinlichkeit, dass genau null, genau eins oder genau zwei defekt sind:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=0)<\/strong> = <sub>10<\/sub> C <sub>0<\/sub> * 0,02 <sup>0<\/sup> * (1-0,02) <sup>10-0<\/sup> = 1 * 1 * 0,98 <sup>10<\/sup> = <strong>0,8171<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=1)<\/strong> = <sub>10<\/sub> C <sub>1<\/sub> * 0,02 <sup>1<\/sup> * (1-0,02) <sup>10-1<\/sup> = 10 * 0,02 * 0,98 <sup>9<\/sup> = <strong>0,1667<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=2)<\/strong> = <sub>10<\/sub> C <sub>2<\/sub> * 0,02 <sup>2<\/sup> * (1-0,02) <sup>10-2<\/sup> = 45 * 0,0004 * 0,98 <sup>8<\/sup> = <strong>0,0153<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Als n\u00e4chstes setzen wir diese Werte in die folgende Formel ein, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass mindestens drei Widgets fehlerhaft sind:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(X\u22653) = 1 \u2013 P(X=0) \u2013 P(X=1) \u2013 P(X=2)<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(X\u22653) = 1 \u2013 0,8171 \u2013 0,1667 \u2013 0,0153<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(X\u22653) = <strong>0,0009<\/strong><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Zufallsstichprobe von 10 mindestens drei Widgets defekt sind, betr\u00e4gt <strong>0,0009<\/strong> .<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Beispiel 3: Trivia-Fragen<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Bob beantwortet 60 % der Quizfragen richtig. Wenn wir ihm f\u00fcnf Quizfragen stellen, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens drei richtig beantwortet.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Berechnen wir zun\u00e4chst die Wahrscheinlichkeit, dass er genau null, genau eins oder genau zwei richtig antwortet:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=0)<\/strong> = <sub>5<\/sub> C <sub>0<\/sub> * 0,60 <sup>0<\/sup> * (1-0,60) <sup>5-0<\/sup> = 1 * 1 * 0,40 <sup>5<\/sup> = <strong>0,01024<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=1)<\/strong> = <sub>5<\/sub> C <sub>1<\/sub> * 0,60 <sup>1<\/sup> * (1-0,60) <sup>5-1<\/sup> = 5 * 0,60 * 0,40 <sup>4<\/sup> = <strong>0,0768<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=2)<\/strong> = <sub>5<\/sub> C <sub>2<\/sub> * 0,60 <sup>2<\/sup> * (1-0,60) <sup>5-2<\/sup> = 10 * 0,36 * 0,40 <sup>3<\/sup> = <strong>0,2304<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Als n\u00e4chstes setzen wir diese Werte in die folgende Formel ein, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass er mindestens drei Fragen richtig beantwortet:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(X\u22653) = 1 \u2013 P(X=0) \u2013 P(X=1) \u2013 P(X=2)<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(X\u22653) = 1 \u2013 0,01024 \u2013 0,0768 \u2013 0,2304<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(X\u22653) = <strong>0,6826<\/strong><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens drei von f\u00fcnf Fragen richtig beantwortet, betr\u00e4gt <strong>0,6826<\/strong> .<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Bonus: Wahrscheinlichkeit von mindestens drei Rechnern<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Verwenden Sie diesen Rechner, um automatisch die Wahrscheinlichkeit von \u201emindestens drei\u201c Erfolgen zu ermitteln, basierend auf der Erfolgswahrscheinlichkeit in einem bestimmten Versuch und der Gesamtzahl der Versuche.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Wir k\u00f6nnen die folgende allgemeine Formel verwenden, um die Wahrscheinlichkeit von mindestens drei Erfolgen in einer Reihe von Versuchen zu ermitteln: P(at least 3) = 1 &#8211; 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